domingo, 17 de febrero de 2013

Una sucesión muy natural y a la medida siempre de uno.

Sea la sucesión de números enteros positivos definida con tres parámetros: a(n, m, p) donde n denota el enésimo término de la sucesión; m denota el número de términos que queremos que sean consecutivos y p denota el valor que queremos que tenga el (m+1)-ésimo término de la sucesión.

  a(n)=n+(n-1)(n-2)...(n-m)(p-(m+1))/m!

Tendremos para todo m positivo  y todo p > m+1 y todo t positivo   :

a(1) = 1, a(2) = 2, a(3) = 3, ...., a(m) = m, a(m+1) = p, ...., a(m+t) = m+t+(m+(t-1))(m+(t-2))...(m+1)(p-(m+1))

Ejemplos:

a(n, 6, 1000)  :  1, 2, 3, 4, 5, 6, 1000, 6959,...

a(n, 9, 55555) :  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 55555, 555461,...

a(n, 1000, 1002) : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,..., 1000, 1002, 2003,...

a(n, 12, 14) : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 27,...




Vemos con ello que los tests de inteligencia lógica no son tan lógicos, (puesto que la fórmula general de esta sucesión no es en exceso complicada; está compuesta sólo de tres operaciones elementales: suma, multiplicación y división y se escribe con  37 símbolos que la definen totalmente; mientras que "sucesión de números naturales hasta m"  consta igualmente de 37 símbolos; 39 si m tiene 3 dígitos. En ambos casos la pregunta es "¿cual es el término siguiente ?" y la respuesta con mi definición de a(n) es: p>m+1; el que tú decidas) y permite que cualquiera que sea el número de términos consecutivos de una sucesión dada, el siguiente sea el que queramos nosotros; siempre. Sólo se complica ligeramente; pero no tanto, considerando que estamos en la era de los ordenadores; si queremos calcular los términos siguientes a los m+1  primeros.






PS: La inspiración proviene del astrofísico español Eduardo Battaner cuyos libros "Planetas" y "Física de las noches estrelladas" son excelentemente divulgativos. Me he limitado a generalizar una idea suya.






Curva de Peano en su iteración primera; curva que llena el plano; ocupa todos lo puntos del plano en la iteración n-ésima cuando n tiende a infinito. Un segmento inicial (123 en a figura) se subdivide en 9 segmentos iguales de longitud 1/3 cada uno. En la segunda iteración se realiza el mismo proceso para cada uno de los 9 segmentos. Y así en cada iteración sucesiva. Abajo está la iteración segunda. Dibujos hechos a mano personalmente. La sencilla curva de Peano es además un fractal, aunque poco estético, geométricamente muy simple comparado con los fractales en números complejos, aunque de operacion sencilla; de Mandelbrot u de otros.