jueves, 26 de mayo de 2022

Los números de la Y vasca del tren de Alta Velocidad

 

  La Y vasca del TAV comprende:
172 km de vías (algunos datos dan 180,5 km), con
80 túneles de 104,3 km de longitud total (60,6 % de la línea)

71 viaductos con 17,1 km ,casi 250 m de longitud media por viaducto (10 %).
Coste de la construcción en valores de 2022 : 40 M€/km (Precio medio en España: 18 M€/km (2013)). Inflación 2013-2022 : 15 %.
--> 7000 M€ (10 % del PIB vasco)
*Coste Anual en Mantenimiento*
280 empleados*36000 € -->
10 M€/año
Mantenimiento trenes 1M€*15 -->
15 M€/año
Energía trenes
1 M€*15 -->
15 M€/año
Coste trenes
30 M€*15 -->
450 M€. Duración 30 años -->
15 M€/año
Coste de funcionamiento y mantenimiento de la infraestructura (vías) : 175000 €/km.año = 30 M€/año

**Total sólo para el mantenimiento del AVE vasco: 85 M€/año = 0,5 M€/año.km**

**Teniendo en cuenta una vida útil de la infraestructura de 100 años, a partir de los cuales podría ser necesaria otra inversión muy importante, debemos añadir 7000 M€/100 = 70 M€/año --> 155 M€/año = 0,9 M€/km.año para recuperar todo lo invertido y pagar el mantenimiento completo de la Y vasca. Sin  los intereses de los préstamos que aún quedarían por pagar.**

Asumiendo que la población de la zona Vasquia/Madrid
es una mitad de la de la zona de Madrid hasta Barcelona y 4 millones de pasajeros por año en este último, obtenemos unos ingresos de 2 M/año * 12,5 € = 25 M€/año por la Y vasca del AVE.
** Las pérdidas son de 155 -25
= 130 M€/año = muy cerca de 750.000 €/km.año durante 100 años = 2 €/m.día durante 100 años.= 1 €/m.hora durante 8 años (Un Euro tirado y no recuperable, por cada metro de vías, de cada metro de los 172 km, cada hora, las 24 horas del día, los 365 días del año, durante 8 años).  Con otra inversión importante por hacer, en toda la infraestructura, al cabo de esos 100 años. Sin contar los intereses de los préstamos.
Con unos billetes de precio medio 15,5 €, por la Y vasca, se necesitarían 10 millones de viajeros/año  (y 20 millones/año si el precio medio del billete es de 8 € como quiere el Gobierno Vasco), durante 100 años, sin contar los intereses de los préstamos, para recuperar la inversión por el total de las obras y pagar el manteniento de las vías, el coste de los trenes y su mantenimiento, el mantenimiento de las plataformas ferroviarias, de los viaductos y los túneles, pagar a los empleados, pagar la energía eléctrica, comprar más trenes después de sus 30 años de vida...**

Longitud de las líneas del AVE por cada 1000 km^2, en el mundo:
1) Campeón del mundo  Vasquia: 23,8 km/1000 km^2
2) Cataluña: 10,5 km/1000 km^2 (337 km para 32100 km^2)
3) España cuando tenga 4600 km de líneas de AVE:
9,1 km/1000 km^2
4) Japón 8,0 km/1000 km^2
5) Francia 5,0 km/1000 km^2
6) China cuando tenga 40600 km de líneas de TAV:
4,2 km/1000 km^2

Vasquia tendrá 2,6 veces la longitud nuestra (futura) de líneas de trenes de alta velocidad por unidad de superficie y casi 5 veces la de Francia. ¡Es, será el campeón del mundo!

*Sólo hay que saber, además, que el tren de alta velocidad vasco lo pagamos *integralmente* nosotros : España.* Incluidas la mitad de los soterramientos de las estaciones de Bilbao y Vitoria, que no deberíamos de pagar en nada, puesto que una estación normal basta, y era ese el proyecto original. ¡El País Vasco ya tiene un 90 % de independencia económica, les toca pagar a ellos los lujos que ellos piden!
Sólo falta que en el futuro, con los extremistas *independententistas socialistas* de Bildu junto con los aprovechados perennes del PNV y la desidia y cobardía del psoe, nos declaren la independencia por la espalda, cuando las cosas vayan mal, que no se sabe bien qué guerras y desgracias pudieran ocurrir, como lo hizo Ucrania en 1991 con Rusia/Unión Soviética.  Se quedarían entonces con todas nuestras inversiones sin dar nada a cambio.
El caso de Ucrania es terrorífico. Se quedaron incluso con buena parte del armamento nuclear, que devolvieron después, pero no devolvieron Crimea ni las orillas del Mar Negro, ni Odesa, conquistadas por el imperio ruso al imperio turco/otomano. Es como si Vasquia declarara un día la independencia llevándose además a Cantabria, Asturias, La Rioja y las provincias de Burgos y Palencia, incorporadas a su territorio independiente. Por ello es difícil de entender el fervor hacia Ucrania y el odio casi total hacia Rusia, que ya ha perdido el 23,3 % de su territorio, cuando es obvio que Vasquia y Cataluña son unas Ucranias en potencia contra España. Y contra Francia después. Es cierto que hay que democratizar y descomunizar Rusia, acercarla a Europa. Pero no hay que paraisar Ucrania. Son peligrosos los ucranios y muy aprovechados. Declararon una casi-independencia en 1918, en plena guerra civil rusa y en plena I guerra mundial. Se aprovecharon de ese doble y terrible cataclismo. Los bolcheviques, tan imperialistas como nadie, o más, anexionaron Ucrania a la Unión Soviética/ Rusia en 1922, dando muy muy poco a cambio.



 De manera general, *Calculando el coste *medio* de los Trenes de Alta Velocidad en España* Sabemos que en dinero de 2022, el coste de la construcción de la infraestructura de los TAV es de 20 M €/ km y suponemos que al cabo de 100 años sólo se necesitará invertir la mitad en infraestructuras.

Sea n la longitud en kilómetros de la línea de TAV que consideremos. 


1) Coste de construcción de infraestructuras :

20n  M€ / 100 años =                0,2 n M€  / año y

0,1 n M€ / año después de los primeros 100 años (en Euros de 2022).


2) Coste laboral :

Un empleado por kilómetro de línea  a razón de 35000 € / empleado.año =

35000 n € / año.


3) Coste de los trenes :

Un tren cada 10 km de línea, de precio 30 M€ con 30 años de vida útil =

0,1 n M€ / año.


4) Coste de mantenimiento de los trenes :

1 M € / tren.año y n / 10 trenes =

0,1 n M€ / año.


5) Coste de la energía :

1 M€ / tren.año y n / 10 trenes =

0,1 n M€ / año.


6) Mantenimiento de las vías y la infraestructura :

165000 € / km.año =

165000 n / año.


**Coste total en mantenimiento y funcionamiento  (apartados del 2) al 6) :

0,5 n M€ / año.** Sin límite de años. Los que el servicio funcione.


**Coste global de la construcción de la infraestructura y del mantenimiento y del funcionamiento :

0,7 n M€ / año durante 100 años y suponemos que 0,6 n M€ / año, sin límite de tiempo, después de esos primeros 100 años.**


7) Ingresos por venta de billetes :


Consideramos que el recorrido medio por pasajero es de 300 km, que paga a 0,1 €/km. Y sea p el número de pasajeros al año medido en millones.

Los ingresos serán de 30p M€ / año. Sobre 3000 km de líneas, serán de 0,01 p M€ / km.año. Y vamos a suponer que cuando se tengan 4600 km de líneas ( algunas muy cortas y por tanto con pocos ingresos), esa tasa no se alterará. Pero lo mejor será que no se construyan más  líneas de AV por las enormes pérdidas económicas y escasas ganancias sociales reales derivadas.


Por tanto :


***Las pérdidas por el TAV y las LAV serán de media en España, de ((p/10 - 7)n / 10) M€ / año durante los 100 primeros años y de ((p/10 - 6)n / 10) M€ para siempre después. Siendo p la cantidad total de viajeros anuales medida en millones y n el número total de kilómetros de líneas de Alta Velocidad transitadas por Trenes de Alta Velocidad. Tomando n = 1 km, obtenemos las pérdidas por año y kilómetro, en millones de Euros :         

((p/10 - 7) / 10) M€ / km.año***


¡¡Notemos que se necesitan 70 millones de viajeros / año y 21000 millones de viajeros.km/año (300 km de recorrido de media para cada viajero) o 50 millones con recorrido medio de 420 km cada uno, para que no haya pérdidas para siempre, año tras año sin límite alguno!!

 Cuanto más larga sea una línea, más área poblacional cubrirá y más pasajeros podrá captar. Las líneas cortas serán las menos rentables por año y por kilómetro. Pero cuantos más kilómetros construyamos más dinero perderemos de cualquier forma.

 Con entre 20 millones de pasajeros al año, que recorren de media (cada uno) 300 km, 6000 millones de pasajeros.km y 8000 M de pasajeros.km con un precio medio del billete algo mayor, de 0,113 €/km 


****Las pérdidas para España variarán entre  0,5 M€ / km.año durante los 100  primeros años y 0,4 M€/km.año para siempre después, que serán  menos 2300 M€ / año si llegamos a tener 4600 km de LAV (el 0,2 % del PIB anual y el 20 % del presupuesto del Ministerio de Transporte); y 0,4M€/km.año durante 100 años y 0,3 M€/km.año para siempre después****


No somos un país tan rico que pueda permitirse esos lujos. Francia tiene un PIB el doble que el nuestro y se han quedado en la mitad de LAV por unidad de superficie que nosotros (4 veces menos en relación al PIB y por unidad de superficie que nosotros (a pesar de que Francia es el quinto país/región del mundo con más LAV por unidad de superficie; los tres primeros siendo justamente Vasquia, Cataluña y España (Vasquia se lleva la parte del león: 2,6 veces España))).



Los cálculos han sido orientados a la obtención de una media para toda España

La línea Madrid Barcelona, de 620 km, con 4 M  de viajeros/ año que recorran esos 620 km cada uno ( el que se baja en Zaragoza contaría sólo la mitad; en total 2480 M viajeros.km), los ingresos a 0,1 €/km serían de 250 M€ y los gastos totales, 0,7 M€/km los primeros 100 años = 430 M€ y 0,6 M€/km después = 370 M€. Pérdidas respectivas de 180 M€ cada año los primeros 100 años y de 120 M€/año después y para siempre. En Euros de 2022 y sin contar los intereses de las deudas contaídas por Renfe, Adif, y el Gobierno de España subvencionando sin cesar a alguno de los dos primeros.


Para la Y vasca (sólo en territorio de la Comunidad Autónoma) : 

200 M de viajeros.km/año y 20 M€ de Ingresos para 0,9*172 = 155 M€ de Gastos. Pérdidas de 135 M€/año (casi tanto como Madrid Barcelona), durante los 100 primeros años y 0,8*172 - 20 = 115 M€/ año para siempre después. Sin contar los intereses de las deudas.


Una fórmula sencilla para las pérdidas de cada línea individual es P = (q - 7n)/10 M€/año para la media y P = (q - 9n)/10  M€/año para las líneas caras como la Y vasca. Siendo n la longitud en kilómetros de la línea y q la cantidad de pasajeros.km/año medido en millones. Cuidado, que son capaces de darnos cantidades de q alteradas o falsas, para seguir gastando sin freno, que es el síndrome del subdesarrollo. Los países de verdad desarrollados: USA, Alemania, Reino Unido, Francia, no tiran el dinero tontamente así.


Notemos finalmente que el éxito financiero de los TAV, además de depender del PIB, es subsidiario de la densidad poblacional (habitantes/km^2) que es 1,3 veces la nuestra en Francia y 2,9 veces en Gran Bretaña. Y así es multiplicada la probabilidad de éxito financiero de los TAV en esos dos países, que no obstante han parado la construcción de las LAV.
















domingo, 11 de marzo de 2018

Una sucesión interesante.

3, 5, 239, 199, 3415447361,
Inspirado en la OIES estadounidense de Neil Sloane, he confeccionado esta sucesión que define al menor primo de la menor cadena de longitud máxima de números primos separados por una misma distancia minima.
Así, el 3 es el menor numero de la menor cadena de primos separados una distancia d = 2 ( primos gemelos) y que tiene una longitud l = 3 : (3, 5, 7). Todas las demás tienen longitud 2. La siguiente mayor es (11, 13).
5 es el menor primo de la menor cadena de primos de longitud 5 , separados una distancia d = 6 : (5, 11, 17, 23, 29). Todas las demás cadenas con esa distancia tienen una longitud de 4 y la siguiente mayor es : (41, 47, 53, 59).
La distancia d ha de ser , para longitudes máximas de l = 4, 0 mod 3 y (-1 mod 5 o 1 mod 5), es decir 9 mod 15 o 6 mod 15, y ha de ser par. Tomaremos siempre la mínima, 6 en este caso.La longitud de la cadena no puede ser de más de 4 ( con la excepción de la primera), porque el quinto ( o el primero) serían divisibles por 5.
La longitud de las cadenas, con la excepción de las dos primeras, será de p - 1, para cada primo p. La siguiente tendrá una longitud máxima de 7 - 1 = 6 y su distancia habrá de ser 0 mod 3 y O mod 5 y (-1 mod 7 o 1 mod 7). De esta manera los primos (p, p+d, p+2d, ..., p+5d) seran, si p y d son -1 mod 7, (-1, -2, ..., -6) mod 7, o en positivo si p y d son 1 mod 7.
Obtenemos la distancia mínima d = 120. Y el menor primo de la menor cadena es 239 : (239, 359, 479, 599, 719, 839). Hay un primo aún menor: 83, pero con una distancia mayor de d = 300 :   (83, 383, 683, 983, 1283, 1583).
Para una longitud de 10 (11 - 1), la distancia mínima ha de ser  0 mod 105 y (-1 o 1 mod 11). Obtenemos d = 210 y el menor primo es 199, siendo la menor cadena : (199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089).

Para cadenas de longitud máxima 12, obtenemos d = 6930 y el menor primo de la menor cadena es el 3415447361.

Vemos que la sucesión es extraña, infinita, aunque sin poder demostrarlo, con valores que parecen casi más bien aleatorios, en comparación con las sucesiones matemáticas más comunes.
Para una longitud máxima de 16, la distancia minima es 60060 y mi ordenador medio viejo lleva más de una hora buscando la menor cadena.



sábado, 30 de diciembre de 2017

Las elecciones catalanas del 21 de diciembre explicadas a los torpes (y a los vagos)



  Los partidos constitucionalistas han obtenido el 50, 94 % de los votos, la mayoría absoluta, pero solo 65 de los 135 diputados del parlamento catalán. Y al revés, los independentistas obtienen 70 diputados con solo el 47, 49 % de los votos.
El problema reside en el método de D Hondt, utilizado en España, de distribución de los escaños, en que los partidos con más del 15 % de los votos, suelen obtener un escaño de más de lo que les corresponde, y los que han obtenido menos del 15 % de los votos, un escaño menos, sobre todo en provincias (la circunscripción electoral española), poco pobladas relativamente, con un número de diputados a elegir, pequeño.
Es el caso de Gerona y Lérida.

El líder del partido intempestivamente ganador, Ciudadanos (hay una mano negra que enloquece recursivamente a los electores españoles, les hace votar a partidos sectarios, oportunistas y populistas en el peor de los sentidos, como el ya citado, aunque haya ganado y defienda a España (hay que agradecer esto último), y el malévolo Podemos, marxista-extremista y pro independentista en Cataluña y Vasquia, que es el responsable casi directo de la terrible y loca rebelión golpista del fascio-catalanismo), afirma que hay que cambiar la ley electoral.
Vamos a ver aquí, seguidamente, que si se aplicara un sistema proporcional puro, Ciudadanos perdería 4 escaños, quedandose con 33, y ello sin tener que recurrir al voto por correo, en Tarragona, que le quito un escaño, en provecho del PP.

 Imaginemos un sistema proporcional puro, que, en cada provincia, aplique directamente, el porcentaje de votos de cada partido, al número de diputados a elegir. Por ejemplo, en Tarragona, se eligen 18 diputados. C's ha obtenido el 27, 34 % de los votos, o sea que le corresponden en justicia 4, 92 diputados, 2, 12 al PSC, 0, 82 al PP. Sumando la parte entera del número de diputados de cada partido y restandola del número de diputados a elegir, obtenemos el número de diputados que faltan, que se asignarán a las mayores partes decimales del número de diputados correspondientes a todos los partidos en liza con más del 1 % de los votos. Obtenemos en Tarragona C's 5 (-1), ERC 4 (-1), JxC 4 (=), PSC 2 (=), CatCP 1 (=), PP 1 (+1), CUP 1 (+1).
Pero el balance (constitucionalistas, independentistas) queda en (9, 9) igual que por D' Hondt.
En Gerona, el balance con la proporcionalidad pura, es de (6, 11), en vez de (5, 12), muy poco mejor. Pero C's pierde otro diputado.
En Lérida obtenemos (5, 10), en vez de (4, 11). Pero C's pierde otro escaño.
Y en Barcelona, se obtiene (47, 38), lo mismo que con D' Hondt, pero C's pierde otro diputado, en favor del PP.

En total, quedamos, con el sistema proporcional puro, en (67, 68), nos siguen ganando los independentistas por 1, debido a las distorsiones producidas por el reducido número de diputados a elegir en Lérida y Gerona, y a los malos resultados allí obtenidos.
Perro lo relevante es, que C's pierde 4 de sus 37 escaños, por este método matemáticamente más justo, y que el líder de ese partido, a quien agradezco mucho, de todas formas, su apoyo a España, debería dejar reposar la elocuencia-desbridada, de cuando en cuando, y estudiar mas,  trabajar más los conceptos sociales, jurídicos o matemáticos de los que habla.

Pero hay una solución matemática aún más justa.
Si se toma, por el método de D' Hondt, una sola circunscripción electoral muy grande, toda Cataluña, obtenemos :
C's 35 (-2), JxC 30 (-4), ERC 30 (-2), PSC 19 (+2), CatCP 10 (+2), CUP 6 (+2), PP 5 (+2).

Y con el método proporcional puro y los cálculos para Cataluña entera, los resultados son los mismos salvo para ERC que pierde un diputado en favor del PP. Y es en este caso cuando la situación deviene justa matemáticamente por completo, con una proporción (constitucionalistas, independentistas) de (70, 65), y 70 / 135 = 51, 85 %, muy cerca del magnífico resultado ganador, del 50, 94 % de los votos, obtenido por los constitucionalistas, aunque yo siento mucho la caída injusta del PP, que será obstáculo a la hora de recobrar el equilibrio perdido tan necesario para todos.

Nota1: Hay que remarcar mucho, que el método de D' Hondt, que se vuelve injusto en provincias con pocos diputados a elegir, funciona bien en circunscripciones electorales grandes o muy grandes.

Nota2: Recuerdo que D' Hondt atribuye los n escaños de cada circunscripción a los n mayores cocientes, resultado de dividir los votos de cada partido por 1, 2, 3, ... , hasta donde sea necesario.
Puede haber algún error totalmente involuntario en este texto. Los datos han sido tomados de El País, y están permanentemente en Internet. Invito al lector interesado a hacer los cálculos, comprobando por su cuenta.








sábado, 28 de enero de 2017

Algunos sistemas de numeración no tan habituales.






                Sistema de numeración binario, sin el cero, utilizando los dígitos 1 y 2,
 tal que cualquier número n de a dígitos, que se escribe n = d(a-1)....d2d1d0; tiene el valor n = Suma((i=0,i=a-1); di*b^i), siendo b el número de dígitos distintos utilizados.



1, 2, 11, 12, 21, 22, 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222, 1111, 1112, 1121, 1122, 1211, 1212,

1221, 1222, 2111, 2112, 2121, 2122, 2211, 2212, 2221, 2222, 11111, ...


               Sistema de numeración de base 3, sin el cero, utilizando los dígitos 1, 2 y 3,  tal que cualquier número n de a dígitos, que se escribe n = d(a-1)....d2d1d0; tiene el valor n = Suma((i=0,i=a-1); di*b^i), siendo b el número de dígitos distintos utilizados.


1, 2, 3, 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33, 111, 112, 113, 121, 122, 123, 131, 132, 133, 211, 212, 213,

221, 222, 223, 231, 232, 233, 311, 312, 313, 321, 322, 323, 331, 332, 333, 1111, ...


             
                Sistema de numeración de base 4, sin el cero, utilizando los dígitos 1, 2, 3, 4,  tal que cualquier número n de a dígitos, que se escribe n = d(a-1)....d2d1d0; tiene el valor n = Suma((i=0,i=a-1); di*b^i), siendo b el número de dígitos distintos utilizados. 

           
1, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44, 111, 112, 113, 114, 121, 122,

123, 124, 131, 132, 133, 134, 141, 142, 143, 144, 211, ...


Cualquier base se puede escribir sin el cero, pero utilizando un dígito suplementario. La base es el número de dígitos distintos. 



                 Sistema de numeración de base 10, sin el cero, utilizando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,   8, 9, x (x = 10), tal que cualquier número n de a dígitos, que se escribe n = d(a-1)....d2d1d0; tiene el valor n = Suma((i=0,i=a-1); di*b^i), siendo b el número de dígitos distintos utilizados.



1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, x, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1x, 21, ... , 29, 2x, 31, ... , 39, 3x, 41, ... ,

99, 9x, x1, ... , x9, xx, 111, ... , 119, 11x, 121, ... , 129, 12x, 131, ... , 199, 19x, 1x1, ... , 1xx, 211, ... ,

21x, 221, ... , 29x, 2x1, ... , 2xx, 311, ... , 99x, 9x1, ... , 9xx, x11, ... , x1x, x21, ... , x99, x9x, xx1, ... ,

xxx, 1111, ... , 111x, 1121, ... , 119x, 11x1, ... 999x, ...


       



 Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 2 (utiliza dos dígitos distintos: 1, 2), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 2, 12, 112, 21, 22, 122, 1122, 11122, 211, 212, 1212, 221, 222, 1222, 11222, 111222, 1111222,

2111, 2112, 12112, 2121, 2122, 12122, 112122, 2211, 2212, 12212, 112212, 2222, 11111, ...





  Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 2 (utiliza dos dígitos distintos: 1, 3), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 11, 3, 13, 113, 1113, 11113, 111113, 1111113, 31, 131, 33, 133, 1133, 11133, 111133, 1111133, 

11111133, 111111133, 1111111133, 11111111133. 111111111133, 1111111111133, 11111111111133, 

111111111111133, 1111111111111133, 11111111111111133, 111111111111111133, 311, 1311, 313, 

1313, ...

En este caso, cuando el número de unos consecutivos, a la izquierda de otro número o conjunto de números distintos, sea muy largo, se puede sustituir por su expresión más corta, en esta misma base, seguido de un guión. Como ejemplo 111111111133 = 22 (en base 10 usual) -->  31-33.


  Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 3 (utiliza tres dígitos distintos : 1, 2, 3), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 2, 3, 13, 21, 22, 23, 123, 1123, 31, 32, 33, 133, 222, 223, 1223, 11223, 231, 232, 233, 1233, 2121, 

2122, 2123, 12123, 2211, 2131, 2132, 311, 312, 313, 321, 322, 323, 1323, 2233, 331, 332, 333, 1333,

11333, 21131, 111333, 21211, 21131, 2311, 2312, 2313, 2321, 2322, 2323, 12323, 22112, 22113, 

22121, 2333, 22123, 122123, 22211, 22131, 22132, 22133, 21311, 21312, 21313, 21321, 21322, 

21323, 22233, 211111, ...


 Representación con mínimos (en su valor mínimo decimal usual), de un sistema de numeración ternario, que utiliza los números 0, 1 , 2  tal que cualquier número n de a dígitos, que se escribe n = da....d3d2d1; tiene el valor n = Suma((i=1,i=a); di^i ).


1, 2, 12, 20, 21, 22, 122, 200, 201, 211, 212, 220, 221, 222, 1222, 2000, 2001, 2002, 2012, 2020,

2021, 2022, 2122, 2200, 2201, 2202, 2212, 2220, 2221, 2222, 12222, 20000, 20001, 20002, 20012,

20020, 20021, 20022, 20122, 20200, ...



  Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 3 (utiliza tres dígitos distintos : 1, 2, 4), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 2, 111, 4, 21, 22, 122, 1122, 11122, 211, 212, 1212, 214, 222, 1222, 224, 41, 42, 142, 44, 144,

2114, 2122, 12122, 241, 242, 2212, 244, 2221, 2222, 12222, 2224, 12224, 112224, 1112224,

21111, 21112, 121112, 21121, 21122, 2241, 2242, 12242, 2244, 12244, 21221, 21222, 121222,

21224, 121224, 22111, 22112, 122112, 22114, 22122, 122122, 22124, 22212, 122212, 22214, 22222,

122222, 22224, 122224, 411, 412, 1412, 414, 1414, 11414, 111414, 22244, 122244, 1122244,

211214, 211222, ...



 Obviamente, no pretendo que estos sistemas de numeración tengan utilidad alguna, son meras curiosidades aritmético-matemáticas. A lo sumo válidas y útiles para encriptación parcial deficiente; pero nunca se sabe qué nueva herramienta matemática un día los podría utilizar.





 Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 3 (utiliza tres dígitos distintos : 1, 2, 9), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 2, 12, 112, 21, 22, 122, 1122, 9, 19, 119, 1119, 29, 129, 1129, 11129, 111129, 219,

1219, 2112, 229, 1229, 2122, 12122, 112122, 2211, 2119, 12119, 2221, 2129, 12129,

112129, 1112129, 2219, 12219, 21111, 2229, 12229, 21121, 21122, 121122, 1121122,

21211, 21119, ...



Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 3 (utiliza tres dígitos distintos : 1, 2, b (b = 11)), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 2, 12, 112, 21, 22, 122, 1122, 11122, 211, b, 1b, 11b, 222, 2b, 12b, 112b, 1112b, 2111, 21b, 121b,

2121, 22b, 122b, 1122b, 2211, 2212, 12212, 211b, 2222, 12222, 212b,...




Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 4 (utiliza cuatro dígitos distintos : 1, 2, 3, 5), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 2, 3, 1111, 5, 15, 23, 123, 25, 31, 32, 33, 133, 35, 135, 1135, 225, 231, 232, 233, 1233, 235, 2122,

2123, 12123, 51, 52, 53, 153, 55, 155, 321, 315, 251, 252, 253, 331, 332, 333, 1333, 335, 1335, 

11335, 21131, 21132, 21133,  21222, 21223, 121223, 1121223, 21231, 21232, 351, 352, 353, 1353,

355, 1355, 22131, 22132, 22133, 21311, 21312, 21313, 121313, 21315, 21251, 21252, 21253, ...




Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 4 (utiliza cuatro dígitos distintos : -2, 1, 3, 4), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 11, 3, 4, 14, 114, (-2)3, (-2)4, 1(-2)4, 31, 131, 33, 34, 4(-2), 14(-2), 114(-2), 41, 141, 1141, (-2)

(-2)33, (-2)(-2)34, (-2)(-2)4(-2), 1(-2)(-2)4(-2), (-2)(-2)334, (-2)(-2)41, 31(-2), (-2)(-2)43, (-2)(-2)44, 

311, 1311, 313, 314, 1314, 3(-2)3, 3(-2)4, 13(-2)4, 331, 1331, 333, 334, 34(-2), (-2)31(-2), 

1(-2)31(-2), 341, (-2)311, 343, 344, 1344, 11344, (-2)33(-2), 1(-2)33(-2), (-2)(-2)413, (-2)331, 

1(-2)331, (-2)333, (-2)334,  





 Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 8 (utiliza ocho dígitos distintos : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 24, 9, 26, 27, 33, 29, 35, 36, 37, 41, 39, 43, 44, 45, 46, 47, 237, 49, 51, 52, 53, 54, 

55, 56, 57, 249, 59, 252, 253, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 341, 69, 343, 344, 345, 346, 71, 72, 73, 74, 

75, 76, 77, 355, 79, 273, 274, 275, 276, 277, 362, 279, 364, 365, 366, 367, 423, 369, 425, 426, 427, 

1427, 371, 372, 373, 375, 91, ...



Puede haber uno o varios pequeños errores de inatención en alguna de estas sucesiones. En particular, algunos de los términos pueden no ser mínimos, cuando ello es requerido. En el caso del sistema de numeración de base 4 que utiliza los dígitos -2, 1, 3, 4 se necesita convenir si un término con el mismo número de dígitos es menor cuando empieza por -2 o bien por 1.


domingo, 10 de enero de 2016

La caída de más (1)


   No me lo esperaba; pensaba yo que el desencuentro entre extremistas que quieren romper España -y luego Europa, ¿Porqué se pararían sólo en la destrucción de España, pudiendo destruir de paso y partir en mil pedazos estériles, a toda Europa?-  iba a continuar en cataluña. Lo dicho en el título, esta caída muy bien programada, desde tiempo ha; sobra.

Hace falta un gobierno de rescate entre el Partido Popular y el partido socialista, en España, frente a este agravamiento de la tentativa de sedición contra nuestro país.





  ¿ Qué pasaría si estos dos satélites de Júpiter se independizaran ?  ¿ Dejarían de girar en torno al más grande ? ¿ Se volverían poco a poco planetas ?  ¿ Y si todos los satélites de los cuerpos celestes fríos, hicieran lo mismo, en nuestro Universo; adonde iríamos; llegaríamos  más lejos y mejor ?          ¿ Una luna independiente, brillaría más ? Pero si todo gira en torno a todo...si no hay cuerpo alguno que pueda aislarse del resto y no dependa de otros.

¿ No hemos sido en España acaso mucho más democráticos que en Francia o en Italia o en el Reino Unido, en cuanto a nuestras -demasiado aprovechadas ya- periferias y sus lenguas y culturas ?

¿ Se partirá también Estados Unidos en varios pedazos; por culpa de independentistas locos de texas o de california; Italia por la secesión del norte; Alemania por el problema bávaro; Gran Bretaña por culpa de los galeses; Francia por la ambición desmedida de bretones, provenzales y alsacianos ?

La respuesta es que no; porque los defenderemos con fuerza y decisión; como hemos defendido con fuerza y decisión a España.

Basta  de secesiones que se vuelven ya claramente criminales, con terrorismo de ETA o sin ella. Que sepan los sediciosos catalanes que no obtendrán impunidad alguna.

(1) : El sábado 9 de enero del 2016, los periódicos españoles; en el tiempo casi real de Internet; anunciaban lacónicamente que el presidente del gobierno autonómico de Cataluña, Artur Mas; dimitía con la única finalidad de permitir iniciar un proceso de secesión contra España.













viernes, 18 de diciembre de 2015

Las sorpresas del 2016 entrante; un ensayo de literatura exacta numérica.

 

  Del Internet gratuito y no obstante de buena y a veces, aunque pocas, muy buena calidad, he deducido lo siguiente, en unas pocas horas, respecto  a las virtudes numéricas del año que está por llegar. Más que filosofía, es una literatura , una literatura exacta sobre el número 2016.






       Una estrella elegante de 24 puntas; un fractal en ciernes pero fallido aquí; generado por   
                                                                         ordenador.



  ** 2016 es el 21ésimo número tringular T, (de la forma n*(n+1) / 2 con n = 63) y tal que T + 1 (2017 en este caso) es primo. Como ocurre para todos los números triángulares, que son siempre la suma de todos los números naturales desde el 1 hasta n; 2016 = 1 + 2+ 3+ 4+ 5+...+ 59+ 60+ 61+ 62 + 63. Es suma de 3 números consecutivos : 2016 = 671 + 672 + 673, y 3 es el menor número de números consecutivos que pueden sumar igual a un número par, si este es divisible por 3. El menor número par divisible por 3 es 6 = 1 + 2 + 3. Todo número impar n es suma de 2 números consecutivos (n-1) / 2 + (n+1) / 2.

  ** Los números perfectos; aquellos que son iguales a la suma de sus divisores, menos ellos mismos; son de la forma 2^(p - 1)*(2^p - 1) siendo p un número primo y 2^p - 1 un número primo de Mersenne. 2016 es de la forma 2^(n - 1)*(2^n - 1)  con n = 6. Se escribe en binario (base 2) : 11111100000 ( 6 unos consecutivos seguidos de 5 ceros consecutivos; porque es la suma de las siguientes potencias consecutivas de 2 : 2^5 + 2^6 + 2^7+ 2^8 + 2^9 + 2^10 = 32 + 64+ ... + 1024 )
 2016 = 3^6 + 3^6 + 3^5 + 3^5 + 3^3 + 3^3 + 3^2 + 3^2, de manera que se escribe 2202200 en base 3 (133200 en base 4, 13200 en base 6, 5610 en base 7, 3740 en base 8, 2680 en base 9. Siempre terminará en 0 si la base es un divisor del número; 2016 = 31031 en base 5; usa todos los dígitos posibles en base 4 y en base 2)

  ** 2016 sólo es palíndromo 6 veces en su representación de entre las 100 primeras bases, porque se escribe 42 42 en base 47 (42*47 + 42 = 2016), 36 36 en base 55, 32 32 en base 62, 28 28 en base 71, 24 24 en base 83, 21 21 en base 95. (Bases del 2 al 101).

  ** Un número de Lychrel es un número que si se suma al obtenido invirtiendo  la posición de sus dígitos, no se obtiene un palíndromo aunque se repita indefinidamente el proceso. 2016 no es número de Lychrel en base 10, puesto que 2016 + 6102 = 8118 que es un palíndromo. Tampoco lo es en ninguna de las bases menores que 10. El número más cercano que bien pudiera ser de Lychrel en base 10 (¿pero cómo demostrarlo?) es el 1997. Se ha demostrado que 22 = 10110, es número de Lychrel en base 2 y 255 = 3333, lo es en base 4.

  ** 32-ésimo número hexagonal de forma n*(2*n - 1) (con n = 32) y suma de números de la forma 4*k + 1 (k = 0, 1, 2,..., n -1): 1+ 5 + 9 + 13 + ... + 125 = 2016.

  ** Es de la forma n^2*(n^2 - 1) / 2 (con n=8).

  ** Es una diferencia entre dos potencias de 2 : 2016 = 2^11 - 2^5 (y el 24, número que aparece al final, es 24 = 2^5 - 2^3)

  ** 2016^17 + 1 es divisible por el  número primo 2017 y sólo por otro primo más.

  ** 5 se puede escribir como suma de 8 cuadrados en 2016 formas diferentes. (Deben de ser 5 cuadrados de unos positivos o negativos y 3 cuadrados de ceros o bien un cuadrado de 2 y otro de 1, positivos o negativos y el resto de ceros. Esto es :  binomial(8,5)*2^5 + 8*7*2*2 = 56*32 +7*32 = 63*32 = 2016. Los 5 unos pueden ser de 0 , 1 , 2 , 3 , o bien  4 de ellos o bien todos ellos negativos o sea que hay binomial(5,0) + binomial(5,1) + ... + binomial(5,5) = 2^5 = 32 formas distintas posibles de agrupar cinco unos positivos o negativos. binomial(m,n) = m! / ((m-n)!*n!) es el número de combinaciones distintas de m elementos tomados de n en n, siendo n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1. binomial(8,5) = 8! / (5!*3!) = (8*7*6) / (3*2) = 56; hay 56 formas distintas de combinar 8 elementos tomados de 5 en 5, por ejemplo cinco unos todos positivos o bien todos negativos (iguales) y tres ceros. El segundo sumando 8*7*2*2 se debe a que el "2" puede ocupar 8 posiciones distintas, y le quedan 7 al "1",  por cada posición del "2"; o viceversa. Y hay dos formas de 2 : (+2 y -2) y dos formas de 1 : (+1 y -1).Sólo queda decir, para los (y las) que les guste la matemática, si no me he equivocado, que 5 se puede escribir como suma de 9 cuadrados de 4320 formas distintas, pero sólo de 840 formas diferentes como suma de 7 cuadrados, 312 de 6 y 112 de 5 cuadrados. 4 se escribe de 1136 formas como suma de 8 cuadrados; 3 de 448 y 2 de 112. Si no hay equivocación torpe e involuntaria por mi parte, hay más formas de escribir 6 como suma de 8 cuadrados (4480 formas), que 5 como suma de 9 cuadrados (4320 formas). Dejo al amable lector la tarea de encontrar el menor número n entero mayor que 6, si existe, tal que el número de formas de escribirlo como suma de m cuadrados, sea menor que el número de formas de representar n - 1 como suma de m + 1 cuadrados, con m = n + 2 o m = n + 3. No sé, soy un neófito, si se podrían hallar pautas de crecimiento o decrecimiento interesantes en tal terreno inestable.

  ** Es el área de un triangulo rectángulo Pitagórico (cuyos 3 lados son números enteros) de lados (32, 126, 130). La terna Pitagórica primitiva, generadora de infinitas más ternas de forma (k*a, k*b, k*c) (k = 2, 3, 4, ...), es (a, b, c) = (16, 63, 65). Comprobad que a^2 + b^2 = c^2. (24 es el área de un triángulo rectángulo Pitagórico de lados (6, 8, 10) cuya terna primitiva es (3, 4, 5); la única terna Pitagórica con los tres lados de longitudes enteras consecutivas).

  ** 2016 es de la forma n*sigma(n) siendo sigma(n) la suma de los divisores de n (n =  32)

  **  Es un múltiplo de 16 que contiene en su expresión en base decimal, al 16.

  ** Existe un cuadrado mágico de 8*8 formado de números primos consecutivos del 79 al 439 cuya suma mágica es 2016 (Notemos que la suma de estos 64 números primos consecutivos es justamente de 8 veces 2016).

  ** 2016 es de la forma (7^n - 7^0)*(7^n - 7^1)*...*(7^n - 7^(n-1)) (con n = 2  : (48*42)). El próximo será dentro de 33.782.112 años (para n = 3).

  ** 2016^2 es la suma de 4 números primos consecutivos (empezando por el primo 1016051) (y 24^2 es la suma de 4 primos consecutivos treminando en 151. Pero esto no es relevante).

  ** 2016 es el 792-ésimo número que es suma de números primos consecutivos de al menos una forma, siendo el primero : 5 = 2 + 3.  2016 es la suma de 18 números primos consecutivos, del 20-ésimo al 37-ésimo : 2016 = 71 + 73 + 79 +  ... + 149 + 151 + 157. El menor número par suma de números primos consecutivos de dos formas distintas es 36 = 5 + 7 + 11+ 13 = 17 + 19.

  ** 2016 es la diferencia común entre 3 cuadrados en progresión aritmética cuyo primer término es 47^2 (y el número 24 igualmente: 24 = 5^2 - 1^2 = 7^2 - 5^2) (42336, otro número Casiperfecto (ver al final de este texto), es también la distancia común entre los cuadrados de 42, 210 y 294).

  ** 2016 es el 24ésimo número n tal que su número de factores primos, aunque sean repetidos, menos su número de factores primos distintos, es igual a 5 (2016 = 2^5*3^2*7).




            La  preciosa costa vasca; querida; pero no por ello superior a las demás costas de España; ni                                                 separada de ellas; ni enfrentada a ellas.


  ** 2016 es una máxima distancia, superior a todas las anteriores, entre dos tripletes consecutivos de primos de la forma (p, p + 2, p + 6) (El primero empieza por p = 56891 y el siguiente por p = 58907). La otra forma posible de los tripletes de primos (3 primos lo más cercanos posibles entre sí) es (p, p+4, p+6). Se entiende que p + 4 no exista en la primera forma puesto que en el caso en que p fuera de la forma 3*k + 2; p + 4 sería de la forma 3*k + 6 = 3*(k + 2) es decir divisible por 3 y por tanto no número primo. Y para la segunda forma de los tripletes de primos si p fuera de la forma 3*k +1, entonces p+2 sería de la forma 3*k + 3 = 3*(k + 1); divisible por 3. Un ejemplo de primera forma de triplete es (5, 7, 11) o (11, 13, 17) o (17, 19, 23) y de segunda forma :  (7, 11, 13) o (13, 17, 19) o (37, 41, 43).

  ** 2016 es la suma de 7 cubos de números consecutivos (empezando por 3^3) y es el 27ésimo (27 = 3^3 = 1+2+3+4+5+6+6) número que es suma de al menos 2 cubos positivos consecutivos mayores que 1.Y es además la suma de los cubos de cuatro de sus divisores.

  ** La suma de 2016 y de sus dígitos es un cuadrado.

  ** 2016 tiene 5 lunes en el mes de febrero y ello no volverá a ocurrir hasta el 2044.

  ** Es el producto de la suma de divisores de 2 números consecutivos (31 y 32).

  ** Es 4 veces el producto de 3 números consecutivos y 6 veces el producto de estos 3 números reducidos cada uno en 1.

  ** Es la cuarta parte de la diferencia entre el quinto primo de Mersenne M(5) = 2^13 - 1 = 8191 y el cuarto M(4) = 2^7 - 1 = 127 (24 = (M(4) -M(3)) / 4  y (M(3) = 31)).

  ** 2016 es el menor número entero y, con x < y < z tal que sigma(x) = sigma(y) = sigma(z) = x+y+z (x = 1980, z=2556, siendo sigma(n) la suma de divisores del número entero n))

  ** Es el producto de los dígitos de 32^3 (y 32 es un divisor en potencias de 2, de 2016). (24 es el producto de los dígitos de 4^3 (y 4 es un divisor en potencias de 2, de 24); pero no creo que esta similutud sea algo más que una casualidad o una trivialidad).

  ** 2016 es el segundo número Casiperfecto; cuya suma de más de un 85 % (pero menos del 100 %) de sus divisores, excluyendo al propio número, ordenados de menor a mayor, empezando por los menores; sea el propio número. 2016 es la suma de sus primeros 31 divisores y 31 / 35 = 0,89. Los que vivieron en el año 24 tuvieron el honor de inaugurar los números positivos Casiperfectos (24 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 y 6 / 7 =0,857).

  ** En torno al día 18/01/2016, un comentario corto en una página web española de matemáticas,     me informa que el 2016 es un número 24-gonal.Como los dos primeros números Casiperfectos son el 24 y el 2016, decido investigar.

   Primero, la fórmula para el enésimo número r-gonal es P(n,r) = ((r-2)*n^2 - (r-4)*n) / 2.

 Resolviendo la ecuación de segundo grado en variable n, tenemos que (r-4)^2 +8*(r-2)*P(n,r) ha de ser un cuadrado. Escribo el siguiente programa en Pari gp, para hallar todos los números r-gonales entre r = 3 y r = 24 que lo sean para 3 valores distintos de r. Es el caso de 2016 para r = 3 , 6 y 24.
(63-ésimo número triangular; 32-ésimo número hexagonal; 14-ésimo número 24-gonal).

i=0;v=vector(10^3);for(r=3,24,for(m=2,2016,a=(r-4)^2+8*(r-2)*m;if(issquare(a,&b)&floor((r-4+b)/(2*(r-2)))==(r-4+b)/(2*(r-2)),i++;v[i]=m)));u=vecsort(v);w=vector(300);j=0;for(k=2,length(u)-2,if(u[k]>0&u[k]==u[k+1]&u[k]==u[k+2],j++;w[j]=u[k]));y=vecsort(w);l=0;x=vector(j);for(s=1,length(y),if(y[s]>0,l++;x[l]=y[s]));print(x,"  ",j," numeros")

Con el resultado siguiente:
[15, 21, 36, 45, 66, 225, 231, 276, 325, 540, 561, 946, 1225, 1540, 2016]  15 numeros

Los seis primeros números Casiperfectos son :

242016, 8190, 42336, 45864, 392448

8190 es el 39-ésimo número 13-gonal; el 20-ésimo número 45-gonal y el 3-ésimo (tercer) número 2731-gonal. No aparece el 2016.

42236 es el sexto número 2824-gonal y el tercer número 14113-gonal. No aparecen ningunos de los términos anteriores, de la sucesión.

45864 es el tercer número 15289-gonal

392448 es el 12-ésimo número 5948-gonal y el tercer número 130817-gonal.


Deducimos que el hecho de que 2016 sea un número 24-gonal es una simple casualidad que nada tiene que ver con los números Casiperfectos y otro bonito ejemplo de la ley de los números pequeños de Richard K. Guy.



Hay tan pocos números pequeños, en relación a los grandes, que se cuelan donde no debieran de estar, en muchos sitios, y engañan a veces durante un tiempo por suerte corto, al matemático-pensador de buena voluntad.


Por último : 2016 es también el sexto número 136-gonal y el tercer número 673-gonal; si no me he equivocado programando, es decir, como decía un conocido; si no he engañado involuntariamente al ordenador.



2016 = ((2 * 2^2)!) / (2^2^2 + 2^2)
2016 = (3! + 3)! / (3! * (3^3 + 3))
2016 = 5^5 - ((5^5) / 5) + (5 - (5 / 5)) * (5! + (5 / 5))
2016 = ((7^7) / (7*7) - (7 * 7 * 7 + 7 * 7 * 7 - 7)) / (7 + (7 / 7))
2016 = (11! * (11 - 11/11 - 11/11 -11/11)) / (11 * (11 * 11 - 11/11) * (11 * 11 - 11/11) )





 ** 2016 es el 16-ésimo número n mayor que 1, tal que eulerphi(sigma(....eulerphi(sigma(n) = n  para cadenas de eulerphis y sigmas alternos de longitud 4*k (k = 1,2,3...), empezando por sigma y terminando por eulerphi. (sigma(2016) = 6552; eulerphi(6552) = 1728 = 12^3; sigma(1728) = 5080;    eulerphi(5080) = 2016).
  


Nota: No creemos en los números más que en las palabras, aunque sí en la relación cambiante y dinámica y fresca y no ideológica (no marxista, ni de izquierda; como ejemplo muy importante; ni de Oeste ni Este) sin estratificaciones ni posicionamientos "geográficos" irremediables que conducen a dictaduras de una minoría  y no dogmática; entre los números por una parte y entre las palabras por otra y si se puede, cuando se puede, entre los números y las palabras juntos, procurando no creer de manera absoluta, nunca,  ni en un número sin contexto adecuado ni en una palabra que pretenda falsamente imponerse generando una idea falsa.

viernes, 2 de octubre de 2015

El método de D´Hondt explicado a los torpes y a Mas (1)



           (1) Pobre Cataluña tan lejos de Dios y tan desorientada por su presidente Mas;



                                                                            Fractal




  Imaginemos que tenemos 5 partidos A, B, C, D y E que han obtenido en unas elecciones respectivamente 15, 14, 13, 12, y 11 votos y que son 7 los escaños a repartir. No hay manera matemática alguna de que el reparto  sea mejor que : (A; B; C; D; E) = (2; 2; 1; 1; 1) escaños. A pesar de que es injusto de que por un solo voto de diferencia, el partido B tenga el doble de diputados o concejales municipales que el partido C y que los partidos A y B, con sólo 29 votos entre los dos, tengan más escaños juntos que C, D y E juntos, con 36 votos entre los tres. Se puede multiplicar el número de votos de cada partido por la cantidad k que uno quiera y la injusticia en el reparto permanecerá con la salvedad de que : B tendrá el doble de diputados o concejales municipales que el partido C, con k votos de diferencia y que los partidos A y B, con sólo 29k votos entre los dos, tendrán más escaños juntos que C, D y E juntos con 36k votos entre los tres. Hay que notar que algunos métodos matemáticos de reparto de escaños (incluido el de D´Hondt; pero no en este caso) aún podrían empeorar la situación dando un resultado de : (A; B; C; D; E) = (3; 1; 1; 1; 1); pero no podrían en ningún caso mejorar la asignación : (A; B; C; D; E) = (2; 2; 1; 1; 1).

   Imaginemos ahora que algún excéntrico -alguien que no vive en el centro; y hay muchos en cualquier país del mundo- convoca un plebiscito engañoso; disfrazado; inelegante, sobre una supuesta separación del Noreste de España; de España.

  Y que obtiene el 39, 54 % de los votos pero 62 escaños de 135 posibles es decir 45, 93 % diputados autonómicos, es decir una prima de más de 6 puntos en diputados  16 % más diputados de lo que debiera). Si hubiera habido una sola circunscripción para toda Cataluña; Mas, en rigor no debiera de haber obtenido más de  135 * 0,3954 = 53 o como mucho 54 escaños.

Hay una manera de que el resultado sea más justo; que vamos a ilustrar con este ejemplo :







                                                     Árbol multicentenario en Picos de Europa




  Sean los votos de los cinco partidos de este ejemplo (A; B; C; D; E) = (100; 85; 49; 22; 6) y sean 7 los escaños por cubrir. El total de votos es 262. Los porcentajes de votos sobre este total son de (A; B; C; D; E) = (38,2; 32,4; 18,7; 8,4; 2,3) y el número de escaños para cada partido de  entre los 7 : (A; B; C; D; E) = (2,7; 2,3; 1,3; 0,6; 0,2).

  Método estrictamente proporcional 1 : Asignamos a cada partido la parte entera de los escaños que han obtenido --->
(A; B; C; D; E) = (2; 2, 1; 0; 0) y los escaños por repartir que queden se asignan a las mayores partes decimales ---> (A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 1; 0).

  Método menos estrictamente proporcional 2 :  Asignamos a cada partido la parte entera de los escaños que han obtenido --->
(A; B; C; D; E) = (2; 2, 1; 0; 0). Se añade uno a la parte entera obtenida por cada partido y esta se multiplica por la parte decimal. Así, A obtiene (2+1)* 0,7 = 2,1 y D obtiene (0+1)*0,6 = 0,6. Los escaños que quedan por repartir se asignan a los mayores resultados : (A; B; C; D; E) = (2,1; 0,9; 0,6; 0,6; 0,2). En caso de empate, se toman más decimales decisivos. Los dos escaños que quedaban por repartir van a A y a B. Tendremos finalmente (A; B; C; D; E) = (3; 3, 1; 0; 0).





                                                 Acantilados verticales del Ogoño, en Vizcaya




   Método de D´Hondt

  No tiene mayor fundamento matemático que los dos métodos anteriores. El método general consiste en dividir los votos obtenidos por cada partido, por a*k+ 1  para los valores sucesivos de k = 0, 1, 2, 3... y eligendo los mayores resultados hasta cubrir el número de escaños en juego. En rigor, hay un número grande de valores de a posibles y luego un número grande de métodos distintos de este estilo.              D´Hondt eligió arbitrariamente el valor de a = 1. Y eso es lo que engañó a Mas, que intentó a su vez engañarnos a los Españoles.

  En torno al 40 % de los votos y si las circunscripciones son todas relativamente pequeñas, la prima en escaños puede ser de hasta 10 puntos, como en el caso del psoe de las elecciones de 1982, que con un 48, 11 % de los votos obtuvo 202  / 350 = 57, 71 % de los diputados.

  Los partidos con más del 20 % de los votos resultan muy beneficiados por el método D´Hondt.

  Los partidos que obtienen entre el 15 % y el 20 % reciben en general, dependiendo también algo de la configuración de las circunscripciones electorales; el mismo porcentaje de escaños.    No se ven perjudicados ni tampoco favorecidos.

  Los partidos con menos del 15 % de los votos se ven a veces muy desfavorecidos, sobre todo en circunscipciones pequeñas. Es el caso de la UCD en las elecciones de 1982, que con un 6, 77 % de los votos obtuvo sólo 11 / 350 = 3, 14 % de los diputados; menos de la mitad de los que había ganado.


  Afortunadamente existe el método de Sainte Lague, que consiste, al dividir por a*k + 1 para los valores sucesivos de k = 0, 1, 2, 3... y eligendo los mayores resultados hasta cubrir el número de escaños en juego; en elegir el valor de a = 2 en vez del valor de a = 1, como en el caso de D´Hondt.





                                                         
                                                               




  Ilustremos el caso anterior de los votos  para (A; B; C; D; E) = (100; 85; 49; 22; 6)

  a) D´Hondt

  Dividimos por a*k+ 1  para sucesivamente k = 0,1,2,... y a = 1 ; es decir dividimos por
k +1 , es decir por 1, 2, 3, ..

División por 1 :  (A; B; C; D; E) = (100; 85; 49; 22; 6)
División por 2:   (A; B; C; D; E) = (50; 42,5; 24,5; -; -)
División por 3:   (A; B; C; D; E) = (33,3; 28,3; 16,3; -; -)
División por 4:   (A; B; C; D; E) = (25; -; -; -; -)

  Los 7 cocientes mayores están subrayados y marcan el reparto de escaños:
(A; B; C; D; E) = (3; 3, 1; 0; 0).



  b) Sainte Lague

  Dividimos por a*k+ 1  para sucesivamente k = 0,1,2,... y a = 2 ; es decir dividimos por
2*k +1 , es decir por 1, 3, 5, ..

División por 1 :  (A; B; C; D; E) = (1008549; 22; 6)
División por 3:   (A; B; C; D; E) = (33,328,3; 16,3; -; -)
División por 5:   (A; B; C; D; E) = (20; 17; -; -; -)
División por 7:   (A; B; C; D; E) = (14,3; -; -; -; -)

  Los 7 cocientes mayores están subrayados y marcan el reparto de escaños:
(A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 1; 0).





                                                                   Ría de Urdaibai




  c) Método a = 4 (El método a = 3 da el mismo resultado)

  Dividimos por a*k+ 1  para sucesivamente k = 0,1,2,... y a = 4 ; es decir dividimos por
4*k +1 , es decir por 1, 5, 9, ..

División por 1 :  (A; B; C; D; E) = (100854922; 6)
División por 5:   (A; B; C; D; E) = (2017; 9,8; -; -)
División por 9:   (A; B; C; D; E) = (11,1; 9,4; -; -; -)

  Los 7 cocientes mayores están subrayados y marcan el reparto de escaños:
(A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 1; 0).

  Busquemos cual es el valor crítico de a para que el reparto cambie cuando el tercer escaño de A pase a ser de B, es decir cuando 100 / (a*k +1) para k = 2 < 85 / (a*k +1) para k = 1 es decir 100 / (2*a +1) < 85 /  (a +1) es decir a > 15 / 70 y puesto que a debe de ser un número entero, equivale a > 0; es decir que la condición se cumple siempre aunque a tienda a infinito,  salvo por la condición 6 < 100 / (2*a +1) ---> a < 8



  d) Comprobamos que el resultado es el mismo para el método a = 7

  Dividimos por a*k+ 1  para sucesivamente k = 0,1,2,... y a = 7 ; es decir dividimos por
7*k +1 , es decir por 1, 8, 15, ..

División por 1 :  (A; B; C; D; E) = (100854922; 6)
División por 8:   (A; B; C; D; E) = (12,510,6; 6,1; -; -)
División por 15:   (A; B; C; D; E) = (6,7; 5,7; -; -; -)

  Los 7 cocientes mayores están subrayados y marcan el reparto de escaños:
(A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 1; 0).

  Para  a = 8 obtenemos (A; B; C; D; E) = (2; 2, 1; 1; 1). Hemos comprobado que entre a = 2, para este caso, y a = 7 obtenemos el mismo resultado reparto de escaños.





                                                          Los montes del norte de Burgos




  e) Generalicemos aún más : Dividimos por a*k + b  para sucesivamente k = 0, 1, 2, 3... y a y b valores enteros. Por ejemplo a = 3 y b = 2. Hay muchas combinaciones posibles. Hemos de dividir, en este caso, por sucesivamente: 2, 5, 8, 11,...

División por 2 :  (A; B; C; D; E) = (5042,5; 24,5; 11; 3)
División por 5 :  (A; B; C; D; E) = (2017; 9,8; -; -)
División por 8 :  (A; B; C; D; E) = (12,5; 10,6; 6,1; -; -)
División por 11 : (A; B; C; D; E) = (9,1; -; -; -; -; -)

  Obtenemos  (A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 1; 0); exactamente el mismo resulatado que para a = {2, 3, 4, 5, 6, 7} y b = 1.


  f) Pero na han de ser forzosamente a y b valores enteros : Dividimos por a*k + b  para sucesivamente k = 0, 1, 2, 3... y a y b valores reales. Por ejemplo a = pi = 3,141... y b = e = 2,718.. Hay muchas combinaciones posibles.
Hemos de dividir, en este caso, por sucesivamente:  e, pi + e, 2*pi + e, 3*pi + e, ...

División por e :             (A; B; C; D; E) = (36,8; 31,3; 18,0; 8,1; 2.2)
División por pi + e :      (A; B; C; D; E) = (17,1; 14,5; 8,4; -; -; )
División por 2*pi + e :  (A; B; C; D; E) = (11,1; 9,4; 5,4; -; -)
División por 3*pi + e :  (A; B; C; D; E) = (8,2; -; -; -; -)

  Obtenemos  (A; B; C; D; E) = (3; 3, 1; 0; 0). El  reparto es distinto porque estamos en la zona crítica de valores de a y b, para los que existe un cambio en la asignación de los escaños; no porque los valores de a y b no sean enteros. Dejo al amable lector, como ejercicio, el comprobar que con a = pi y b = e / 2 , obtenemos  de nuevo (A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 1; 0).






                                             Flora común primaveral de la provincia de Burgos




 Concluimos que el método a = 2; b = 1 de Sainte Lague es más justo y estrictamente proporcional que el método  a = 1; b =1  de D´Hondt, pero menos que el método estrictamente proporcional 1 con el que Mas y JxS hubieran obtenido sólo 57 escaños por el método estrictamente proporcional y 58 por el método 2, aunque tomado el cálculo en una sola circunscripción para toda cataluña (con minúscula por su locura), en vez de en cada provincia.

  De todos modos Mas -y ciertamente no cataluña con quien se identifican inadmisiblemente- perdió el plebiscito velado que él mismo eligió; como lo perdieron también los Quebequeses en Canadá. Notemos también de paso que los Quebequeses hablan francés y defienden la cultura y la nación francesa, a la que se sienten adheridos cultural y afectivamente. No querrán nunca que ningún excéntrico parta a España y después a Francia y después a Italia en pedazos.


  Notemos además que con el método estrictamente proporcional 1, el partido unio.cat hubiera obtenido 3 escaños, 2 en Barcelona  y 1 en Lérida y que si no fuera por la provincia de Barcelona que es una circunscripción muy grande, con 85 escaños; que corrigen las disfunciones de D´Hondt en las provincias poco pobladas (con pocos diputados a elegir); Mas -y no cataluña- hubiera obtenido una prima aún más grande en diputados. Me hubiera gustado, de haber vivido allí, haber votado a un partido centrado y centrista como es unio.cat ; que son de los partidos indispensables a la hora de equilibrar y de impulsar a la vez a las naciones; aunque Mas -y ciertamente no cataluña- nos esté forzando a radicalizar y extremar nuestras posiciones. Sueño con un PNV que se libre de una vez, muy francamente, de la tiranía loca de Sabino Arana y progresemos y avancemos y centremos y seamos juntos. Una nación no la hace ni la costumbre ni tampoco la lengua, que son, pero no son determinantes; sino el equilibrio, el compromiso y la voluntad. La nación somos nosotros y es España. La mayoría catalana está; lo hemos visto; con España.




                                                           
                         Amboto  y  Alluitz , al fondo, desde el monte Aldamin; del macizo del Gorbeia




  Anexo 1:

  1) Resultados en diputados por cada partido de las elecciones catalanas del 2015 por cada circunscripción por el Método estrictamente proporcional 1 :

Barcelona : 

JxSí = 31; C´s = 16; PSC = 12; CatSP = 9; PP = 7; CUP = 7; unio.cat = 2; Pacma = 1

Gerona :

JxSí = 10; C´s = 2; PSC = 2; CatSP = 1; PP = 1; CUP = 1; unio.cat = 0; Pacma = 0

Lérida :

JxSí = 8; C´s = 2; PSC = 1; CatSP = 1; PP = 1; CUP = 1; unio.cat = 1; Pacma = 0

Tarragona :

JxSí = 8; C´s = 4; PSC = 2; CatSP = 1; PP = 2; CUP = 1; unio.cat = 0; Pacma = 0





                                   Bajando del bello monte Unchillaitz (escrito con la bonita ch)




  2) Resultados en diputados por cada partido de las elecciones catalanas del 2015 por cada circunscripción por el Método menos estrictamente proporcional 2 :

Barcelona : 

JxSí = 31; C´s = 16; PSC = 12; CatSP = 9; PP = 8; CUP = 7; unio.cat = 2; Pacma = 0

Gerona :

JxSí = 10; C´s = 2; PSC = 2; CatSP = 0; PP = 1; CUP = 2; unio.cat = 0; Pacma = 0

Lérida :

JxSí = 9; C´s = 2; PSC = 1; CatSP = 1; PP = 1; CUP = 1; unio.cat = 0; Pacma = 0

Tarragona :

JxSí = 8; C´s = 4; PSC = 2; CatSP = 1; PP = 2; CUP = 1; unio.cat = 0; Pacma = 0






                                               La costa oriental de Cantabria y su flysch rocoso





Anexo 2 :

Cuando la Cámara de Representantes (House of Representatives) de Estados Unidos, que utilizaba un método muy similar al   Método estrictamente proporcional 1,  explicado anteriormente, para asignar el número de escaños que representaran a cada Estado según su población; quiso aumentar el número de representantes de la Cámara, de 299 a 300; se descubrió que Alabama que tenía 8 representantes, se quedaba entonces con un representante menos, con sólo 7 (2). Esta paradoja se debe a que en un reparto matemático, los resultados de cualquier parte, dependen siempre de las demás  partes y es, a mi entender, menos grave que el hecho de que un partido, a nivel nacional, que haya obtenido alrededor del 10 % de los votos o menos, con un sistema de reparto que dice ser proporcional, como el de  D´Hondt; obtenga en cambio en torno a sólo el 5 % de los escaños en juego o menos.  Otra cosa es que exista una voluntad de consenso como en el caso francés en que las circunscripciones electorales son lo más pequeñas posibles, eligen a un solo escaño y por tanto un partido o una colición que haya obtenido el 49, 9 % de los votos, en esa circunscripción, si sólo hay dos coaliciones en juego, no obtendrá, muy injustamente, ningún representante. Sin embargo ese sistema electoral favorece, relativamente, el consenso  entre partidos que tienden a agruparse en coaliciones y a pactar. Pero lo malo de ese sistema electoral con circunscripciones unipersonales es que marca una dicotomía *falsa* entre partidos de ¿izquierda? y de ¿derecha?; ideologiza falsamente en dos bloques más arbitrarios que reales, la gestión nacional.

(2) : La fuente es de Wikipedia en Inglés.

Ilustración de la paradoja :

Sean los votos de  los 5 partidos (A; B; C; D; E) = (100; 85; 52; 19; 6).  El total de votos es 262. Los escaños a cubrir son 7. Los porcentajes de votos sobre este total son de                                                     (A; B; C; D; E) = (38,17; 32,44; 19,85; 7,25; 2,29)  y el número de escaños para cada partido de  entre los 7 :
 (A; B; C; D; E) = (2,672; 2,271; 1,389; 0,508; 0,160).

Asignamos a cada partido la parte entera de los escaños que han obtenido --->
(A; B; C; D; E) = (2; 2, 1; 0; 0) y los 2 escaños por repartir que quedan se asignan a las mayores partes decimales ---> (A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 1; 0).

Pero si los escaños a cubrir son 8, el número de escaños para cada partido de  entre los 8, es :              (A; B; C; D; E) = (3,053; 2,595; 1,588; 0,580; 0,183).

La parte entera es --->
(A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 0; 0) y los 2 escaños por repartir que quedan se asignan a las mayores partes decimales ---> (A; B; C; D; E) = (3; 3, 2; 0; 0).

El partido D pierde su escaño en favor de C o de B, a pesar de que el número de escaños en juego ha aumentado en uno. La paradoja no es tanta si se piensa que C tenía casi el triple de votos que D y B más de 4 veces los votos de D y que un reparto totalmente exacto en todo momento es obviamente imposible; cuanto más inexacto el reparto cuanto menor sea el número de escaños en juego. *La paradoja de Alabama es una paradoja muy normal; como hemos ilustrado en este ejemplo*.




jueves, 20 de agosto de 2015

Reseña modular breve sobre la ecuación diofántica : a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = e^4

 
    Mi intención no es dirigirme a expertos sino a aficionados como yo mismo. Los números en sí no significan nada, pero es a veces difícil ver las relaciones matemáticas que rigen entre ellos y esto es lo atractivo de la teoría de los números, y  por ello escribo esto, para divulgar a un nivel de mera afición, para aficionados; muy lejos de la especialidad y de los especialistas.

 Utilizaré la notación siguiente :  r = s mod t para expresar que s es el resto de la división entera de r entre t. Por ejemplo  17 = 2 mod 5 significa que el resto de la división entera de 17 entre 5 es 2; puesto que 17 = 3*5 + 2.

Los cuadrados son siempre (todos) 0 mod 5 o 1 mod 5 o 4 mod 5 porque 3^2 mod 5 = 9 mod 5 = 4 mod 5 y 4^2 mod 5 = 16 mod 5 = 1 mod 5.  Y las potencias cuartas sólo pueden ser 0 mod 5 o 1 mod 5 por lo anterior. (En efecto, y como ejemplo, (5*k + 4)^2 = 25*k^2 + 40*k + 16 = 5*k1 + 16 = 5*k2 + 1; tomando en este caso preciso k1 = 5*k^2 + 8*k y k2 = k1 + 3).


Los cuadrados son siempre (todos) 0 mod 8 o 1 mod 8 o 4 mod 8 porque 3^2 mod 8  = 9 mod 8 = 1 mod 8 ; 4^2 mod 8 = 0 mod 8, 5^2 mod 8 = 1 mod 8, 6^2 mod 8 = 4 mod 8, 7^2 mod 8 = 1 mod 8, 8^2 mod 8 = 0 mod 8. Y las potencias cuartas son siempre 0 mod 8 o 1 mod 8  

Así que en la ecuación    a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = e^4 
sólo podemos tener en módulo 5 estas dos formas:

 0 + 0 + 0 + 0 = 0    o bien     0 + 0 + 0 + 1 = 1

puesto que 0 + 0 + 1 + 1 = 2    y  2 mod 5 no puede ser una potencia cuarta o bien 1 + 1 + 1 + 1 = 4
y 4 mod 5 no es nunca una potencia cuarta, como tampoco lo puede ser 3 mod 5.

Y exactamente lo mismo ocurre en módulo 8.

La opción   0 + 0 + 0 + 0 = 0 queda descartada en ambos módulos 5 y 8 porque sólo obtendríamos soluciones (a, b, c, d) = e obvias con a, b, c, d, e todos ellos múltiplos de 5 o bien de 8, a partir de soluciones primitivas obtenidas con  la condición obligatoria  0 + 0 + 0 + 1 = 1 en ambos módulos.

Un número que es 1 mod 8 es un número de la forma 8*k + 1 y es siempre impar, de la forma 2*k1 + 1 con k1 = 4*k. El hecho de que impar * impar = impar nos garantiza que si x^4 es impar también lo son x^2 y x. Luego uno de los 4 números, a, b, c, d ha de ser impar y los  otros tres han de ser pares.También el número e es  siempre impar.
Tres de los números a^4 , b^4 , c^4 o d^4 han de ser 0 mod 5 es decir múltiplos de 5 y como son potencias cuartas son múltiplos de 5^4 = 625.
A diferencia de lo que ocurre en mod 8 en que si un apotencia cuarta  x^4 es 0 mod 8, x^2 puede ser
0 mod 8 o bien 4 mod 8 y x puede ser 0 mod 8 o bien  2 mod 8 o  bien 4 mod 8 o bien 6 mod 8; en mod 5 si x^4 es 0 mod 5, entonces x^2 es 0 mod 5 y x es 0 mod 5. Queda mostrado que tres de los números a, b, c, d son múltiplos de 5.


Estas conclusiones modulares permiten ahorrar mucho triempo, cuando se implementan en el algoritmo que se programará en el ordenador que calculará las soluciones (a, b, c, d) = e, dentro de un rango determinado. No parece que exista ninguna identidad matemática que produzca un número infinito de soluciones; aunque quizás no todas las soluciones de esta ecuación. (Frecuentemente ocurre que aunque se produzcan un número infinito de soluciones, por medio de alguna identidad, en una ecuación Diofántica, estas no son todas las soluciones de la ecuación). No sé tampoco si la ecuación ha sido resuelta completamente o no. Creo que no.


Estas son las 3 primeras soluciones, tomadas de la excelente página web de Eric Weisstein :



(30, 120, 272, 315) = 353
(240, 340, 430, 599) = 651
(435, 710, 1384, 2420) = 2487

http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation4thPowers.html







sábado, 6 de junio de 2015

¿ Cuantos son los números enteros consecutivos que multiplicados entre sí, más otro número entero cuadrado, darán un cuadrado ?

 

   Es relativamente sencillo de comprobar que el producto de cuatro números enteros consecutivos

más otro número entero t^2 es un cuadrado si t = 1 porque

 n*(n+1)*(n+2)*(n+3) + t^2 = n^4 + 6*n^3 + 11*n^2 + 6*n * t^2    

 y            (n^2+b*n+t)^2 =  n^4 + 2*b*n^3 + (b^2 + 2*t)*n^2 + 2*t*b*n + t^2

lo que nos da que b = 3 y t = 1.

   
n*(n+1)*(n+2)*(n+3)  + 1 =     (n^2+3*n+1)^2 = (n + (n+1 )^2)^2


Esta identidad es cierta cualquiera que sea el número entero positivo por el que se empieza. :


n = 0 ---> 0*1*2*3 + 1 =   1   = (0+1^2)^2   =  1^2

n = 1 ---> 1*2*3*4 + 1 = 25   = (1+2^2)^2   =  5^2

n = 2 ---> 2*3*4*5 + 1 = 121 = (2 + 3^2)^2 = 11^2

n = 3 ---> 3*4*5*6 + 1 = 361 = (3 + 4^2)^2 = 19^2

n = 4 ---> 4*5*6*7 + 1 = 841 = (4 + 5^2)^2 = 29^2

.......

La sucesión de los términos está documentada en la excelente estadounidense On-line Encyclopedia 

of Integer Sequences : 

https://oeis.org/A028387


Al ser un polinomio cuadrado, su grado ha de ser par por lo que el número de números consecutivos 

multiplicados entre sí ha de ser también par.                                                                            (1)


Los coeficientes de los polinomios que son producto de m números consecutivos, fueron estudiados por el escocés Stirling, por lo que llevan el nombre de números de Stirling de primera especie que denotaremos aquí por (n, k), en negrita .

n*(n+1)...(n+m-1) = Suma(de k = 0 a k = m) (m, k)*n^k

Tienen las siguientes propiedades fácilmente comprobables :

(n, 1) = (n-1)*(n-2)*...*2*1
(n, n-1) = n*(n-1) / 2
(n, n-2) = n*(n-1)*(n-2)*(3*n-1) / 24
(n, n-3) = n^2*(n-1)^2*(n-2)*(n-3) / 48
(n, n) = (0, 0) = 1
(n, 0) = (0, n) = 0
(n+1, k) = n*(n, k) + (n, k-1)



http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_numbers_of_the_first_kind

No conocía yo tampoco estos números de Stirling, mi cultura matemática y general es limitada, pero se hace camino al andar. Al intentar resolver este problema, me he topado con ellos. Lamento que tanto la OEIS de Sloane como el *buen y *breve** artículo matemático de wikipedia, indispensable sobre estos números, sólo estén en inglés.




Cualquiera que sea el grado y por lo tanto la longitud del polinomio cuyo cuadrado quisiéramos igualar al producto de m números consecutivos enteros más un número entero t^2, denotaremos los  coeficientes de sus monomios de mayor a menor grado por sucesivamente : 1, b, c, d, e, f, ...

Por ejemplo : 

(n^6+b*n^5+c*n^4+d*n^3+e*n^2+f*n+t)^2 =

n^12 + 2*b*n^11 + (b^2 + 2*c)*n^10 + (2*c*b + 2*d)*n^9 + (2*d*b + (c^2 + 2*
e))*n^8 + (2*e*b + (2*d*c + 2*f))*n^7 + (2*f*b + (2*e*c + (d^2 + 2*t)))*n^6 + (2
*t*b + (2*f*c + 2*e*d))*n^5 + (2*t*c + (2*f*d + e^2))*n^4 + (2*t*d + 2*f*e)*n^3
+ (2*t*e + f^2)*n^2 + 2*t*f*n + t^2


Los coeficientes de los cinco monomios de mayor grado, de mayor a menor, de cualquier polinomio 

cuadrado de grado superior a 6 son: 

1,  2*b,   b^2 + 2*c,   2*(b*c + d),  2*(b*d+e) + c^2                                         (2)



  Consideremos los productos de m = 4*k + 2 números consecutivos (k =1,2,3,..). Por las propiedades de los números de Stirling anotadas previamente, el coeficiente del monomio de grado m - 1 del polinomio, es       (m, m-1) =  m*(m-1) / 2 = (4*k + 2) * (4*k + 1)  / 2 =  (2*k  + 1) * (4*k  + 1 ). El producto de dos impares es un impar y debe ser igual a 2*b, un número par, por (2) .




 Contradicción por lo que no puede ser que  la suma de un producto de 4*k +2 números enteros consecutivos más un cuadrado entero  sea un  cuadrado. Un mínimo de reflexión llevará al amable y más que paciente lector a deducir de ello, que para poder ser cuadrado ese producto  debe de ser el de 8*k  o 8*k + 4 números consecutivos (k = 1, 2, 3, ...).     (7)   





Los coeficientes del monomio  n^(m-2) del polinomio de grado m cuando m = 8*k + 4

son (8*k + 4, 8*k + 2) = (8*k + 4)*(8*k + 3)*(8k + 2)*(24*k +11) / 24 = (2*k + 1)*(8*k + 3)*(4*k

+1) *(24*k + 11) / 3 = (2*k + 1)*(4*k´ + 3)*(4*k + 1) *(4*k" + 3) / 3  tomando k´ = 2*k                            
y  k´´ =  6*k +2.

Un número entero r es de la forma r = u*l + v si cuando se divide al número r por u, con cociente entero, su resto es v.  En cada grupo de tres números consecutivos,  uno es divisible por 3, por lo que el resultado de la división del producto de tres o más números consecutivos, por 3, es un número entero . Lo importante cuando se habla de que un número r es de la forma u*l + v no es el valor de l, que no importa, sino el valor de u y el valor de v. Quien sepa utilizar los módulos, puede utilizarlos.

El producto de dos números de la forma 4*l + 3 es de la forma 4*l + 1, al igual que el producto de

dos números de la forma 4*l  + 1 por lo que (8*k + 4, 8*k + 2) es de la forma (2*k +1) * (4*l +3)

 Si k es par, k = 2*l´ ;  2*k +1 = 4*l´ + 1.  Si k es impar k = 2*l´ + 1;  2*k +1 =  4*l´ + 3.




Si k es par (8*k + 4, 8*k + 2) es de la forma 4*l +3 y de la forma 4*l +1 si k es impar                (3)




Un análisis similar al precedente nos desvela que los coeficientes (m, m-3) son impares si m tiene


resto 6 o 7, al dividirlo por 8 (formas 8*l + 6 u 8*l + 7 o bien 8*l´- 2 y 8*l´- 1; (tomando l´= l - 1)) y

pares en los demás seis casos de los  restos 0, 1, 2, 3, 4, 5.                                                          (8)



Por la regla general de recurrencia de los números de Stirling de primera especie

(8*k + 4, 8*k) = (8*k + 3)*(8*k + 3, 8*k) + (8*k + 3, 8*k - 1)


(8*k + 3, 8*k) es par por (8); el producto de cualquier número por un número par es par y la

suma de cualquier número con un número par lleva la paridad del primer número. Por lo que

(8*k + 4, 8*k) lleva la paridad de (8*k + 3, 8*k - 1). 


Esta transferencia de paridad en descenso contínua, sólo rota en el caso de (8*k, 8*k - 4) que lleva la

paridad inversa de (8*k -1 , 8*k - 5) por lo que (8*k + 4, 8*k) lleva la paridad inversa de (8*k - 4, 

8*k - 8) que es el caso cuando k es sustituido por k -1 y la paridad de k cambia.

En concreto, para k = 1, impar; (12, 8) = 357423 es impar. Concluimos que :



(8*k + 4, 8*k) lleva la paridad de k                                                                                       (4)   



 Por  (2) y (4) sabemos que  2*(b*d+e) + c^2  =  (8*k + 4, 8*k) tiene la paridad de k. Deducimos 

correctamente  de ello que c tiene la paridad de k.                                                                            (5)



Por (2), (8*k + 4, 8*k + 3) = 2*b = (8*k +4)*(8*k +3) / 2  ---> b = (2*k +1)*(8*k +3) es impar --->

b^2 tiene resto 1 al dividirlo por 4, como  todos los cuadrados de números impares.


 Por (2) y (3) tenemos que (8*k + 4, 8*k + 2) b^2 + 2*c  es de la forma 4*l +3 si k es par y de la

forma 4*l +1 si k es impar. Luego c es impar si k es par y par si k es impar, contradiciendo a (5).


 No existen productos de m números consecutivos enteros más  otro número entero cuadrado, que 

sean cudrados  si m es de la forma 8*k + 4                                                                               (6)




(1), (7) y (6) concluyen que para que la suma de un  producto de m números enteros consecutivos más  otro número entero cuadrado sea un cuadrado, cualquiera que sea el número de inicio, m debe de ser de la forma m = 8*k (k=1,2,3,4....) siendo el producto de 4 números consecutivos  más el número uno la única excepción a la norma y probablemente el único caso que exista, mis reducidos conocimientos matemáticos no me permiten demostrarlo.