miércoles, 8 de mayo de 2013

Algunos números primos pequeños .

La moda está a lo muy grande en el dominio de los números primos y no sólo ahí; los estadounidenses, no sin mérito, encuentran con búsquedas colectivas por ordenador, primos de Mersenne de más de 10 millones de cifras; nosotros seguimos pensando que la calidad vale más que lo mucho y el exceso, "nous l´allons montrer tout à l´heure"...


Sean números de la forma  N =  b^(c^n) + k  (b, c, n enteros positivos mayores que 0, excepto n que puede ser 0; k entero distinto de cero, positivo o negativoy consideremos  para un número k determinado, qué números b producen 3, 4 o 5  números primos "consecutivos"  desde para n = 0, 1, 2 hasta para  n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 .


Es casi demasiado conocido que para b=2 , c =2 y  k=1, se trata de los números de Fermat. Menos gente sabe que para que sean primos para valores sucesivos de n (5 valores  consecutivos de n, por ejemplo, como en el caso de los números del francés); la condición de partida es que b y k sean de distinta paridad; uno par y el otro impar,  de otra manera N sería divisible por 2, es decir par; pero no tiene porqué ser concretamente b= 2 y  k=1; ni es por otra parte más importante la base "b" exponenciada que el sumando "k". b y k son igualmente determinantes para  la primalidad de N.



1) c = 2 y k = 1

a) Números b tales que  N =  b^(2^n) + 1 es primo para 3 valores sucesivos de n; n= 0, 1 y 2 :

2, 6, 180, 210, 430, 466  hasta  5*10^3. Por ejemplo, los tres primos para b = 6 son 7, 37, 1297


b) Números b tales que  N = b^(2)^n + 1 es primo para 4 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2 y 3 :

2, 19380, 285090, 337536, 448630  hasta 5*10^5.


c) Números b tales que  N = b^(2^n) + 1 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 


2, 337536, 585106, 602056, 2071960, 11861410, 20706120     hasta 5*10^7.

Los números que terminan en 2, (que son 2 mod 10) no pueden ser candidatos porque las potencias de 2 terminan ciclícamente en 2, 4, 6  y   4+1 = 5; una terminación en 5 es divisible siempre por 5 y no es primo con la excepción del propio número 5; que es la excepción para b = 2, en los números llamados de Fermat. La divisibilidad por 5, en algún momento, es la que impide que los números b terminados en 2 en 4 o en 8, exceptuando el propio 2, puedan tener  primos para valores consecutivos de n.


2) c = 2 y k = 3

Números b tales que  N = b^(2^n) + 3 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :


2564954, 4505138, 6319754, 10004666, 13410068, 28358686, 31079126, 31331314, 37983154, 40470296, 43452004  hasta   5*10^7.


3) c = 2 y k = -3

Números b tales que  N = b^(2^n) - 3 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :


2652442, 3172720, 4564834, 9580670   hasta  10^7.


4) c = 2 y k = 2

Números b tales que  N = b^(2^n) + 2 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :

1, 22155, 1864149, 2760681, 6222765, 22687797, 25631319, 29309589, 33333069, 36490905,    hasta  5*10^7.


Números b tales que  N = b^(2^n) + 2 es primo para 6 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3,  4 y 5 


2760681     hasta  5*10^7.


5) c = 2 y k = -2

Números b tales que  N = b^(2^n)- 2 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :

191829, 5746411, 8636389, 9698023    hasta  10^7.


6) c = 2 y k = 4 o k = -4

Números b tales que  N = b^(2^n) + 4 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :

Los b deben de ser 5 mod 10 (terminados en 5) si se quieren más de 3 valores de n consecutivamente primos. No hay ningún b con 5 valores de n consecutivamente primos, si no me he equivocado, hasta  b = 5*10^7. Y la razón de ello es que n^4 + 4 = (n^2 - 2*n + 2)*(n^2+2*n+2) y por tanto no es primo. Por otro lado N = b^(2^n) - 4  es la diferencia de dos cuadrados y por tanto no es primo.


7) c = 2 y k = 10

Números b tales que  N = b^(2^n) + 10 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :

1, 86913, 193123, 1860747     hasta  10^7.


8) c = 2 y k = -10


Números b tales que  N = b^(2^n) - 10 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :

27561, 859707, 1033281, 3354681, 6370581, 6442863, 8030397      hasta  10^7.


9) c = 2 y k = 25

Números b tales que  N = b^(2^n) + 25 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :

618, 822252, 1030222, 1071618, 1203438, 1385868, 2937922, 3114304, 6322336, 8826808,



10) c = 2 y k = 1000

Números b tales que  N = b^(2^n) + 1000 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :

172429, 1737307, 1963899, 2063913, 5855967, 6742069, 8911927, 9253569     hasta  10^7.


11) c=2 y k = -1000

Números b tales que  N = b^(2^n) - 1000 es primo para 5 valores sucesivos de  n= 0 a n = 4 


264201, 923247, 2478177, 9310479    hasta  10^7.


12) c = 3 y k = 3

Números b tales que  N = b^(3^n) + 3 es primo para 4 valores sucesivos de  n = 0 a n = 3

10850, 41440, 106106, 209984, 232004, 680584, 1144526, 1908866, 2577310, 3478036, 4096316,
4774384, 5253604, 5310284, 5367200, 5514910, 5677220, 5853044, 6946060, 7058456, 7568566,
8030104, 8036986, 8652824, 9003874, 9607906, 9895460, 9975370     hasta 10^7.



13) Pares de números (b, k) para los que N = b^(2^n) + k es primo para 6 valores consecutivos de n, de n = 0 a n = 5 para b  <=  30 y 1 < = k  <=  100000



[2, 15] [2, 4647] [2, 15885] [2, 23055] [2, 25167] [2, 56907] [2, 58437] [2, 59007] [2, 63585]

[2, 66747] [2, 78567] [2, 82137] [2, 95787] [3, 440] [3, 18248] [3, 20120] [3, 32300] [3, 32360] 

[3, 38180] [3, 40930] [3, 48778] [3, 54440] [3, 57710] [3, 71470] [3, 80920] [3, 82490] [4, 93]  

[4, 2535] [4, 9087] [4, 10207] [4, 15667] [4, 35743] [4, 53097] [4, 61207] [4, 62307] [4, 66747]


[4, 74127] [4, 75013] [4, 82555] [4, 86557] [4, 87735]  [5, 1518] [5, 4134] [6, 1081] [6, 2431] 

[6, 2797] [6, 12583] [6, 14711] [6, 29393] [6, 34433] [6, 81167] [6, 95197] [7, 8712] [7, 19420]

[7, 28722] [8, 52305] [9, 32300] [9, 32362] [9, 80920]  [10, 5383] [10, 26151] [10, 88641] 



[11, 8058] [11, 93912] [12, 7165] [12, 95075] [14, 405] [14, 68247] [15, 11456]  [16, 81] [16, 21091]



[16, 53097] [16, 71971] [16, 86067] [17, 66432] [19, 88848] [20, 1071] [20, 16641] [20, 30783] 

[21, 15206] [21, 30496] [21, 69982] [22, 8607] [22, 51697] [22, 72255] [23, 12228] [23, 95208]

[25, 57688] [26, 56895] [27, 42322] [30, 3089]



 Menores números k para cada base 2 <= b <= 30 tales que N = b^(2^n) + k es primo para 6 valores consecutivos de n, de n = 0 a n = 5 :

15, 440, 93, 1518,  1081, 8712, 52305, 32300, 5383, 8058, 7165, 196168, 405, 11456, 81, 66432, 
102745, 88848, 1071, 15206, 8607, 12228, 270185, 57668, 56895, 42322, 339835, 120510, 3089




Conjeturo que esta sucesión no sólo es infinita sino que además, en ella están representados todos los números naturales sin excepción (Todo número natural b tiene un k).

 Sea l la cantidad/longitud de estos primos producidos por valores consecutivos de n, con comienzo en n = 0. 
Conjeturo además que para l = 7 ocurre lo mismo que para l = 6. No me atrevo a inducir más, pero lo pienso.
Conjeturo también, inspirado en el conocidísimo resultado de Terence Tao que existe un par de números enteros (b,k) para cualquier longitud l.

Nota:  Mis conocimientos matemáticos son demasiado escasos, mi mente demasiado simple, para intentar siquiera demostrarlo; soy sólo un "amateur" matemático  y nada más.




14) Pares de números (b, k) para los que N = b^(2^n) + k es primo para 7 valores consecutivos de n, de n = 0 a n = 6 para b  < = 50  y 1  <=  k  < = 10^6





[2, 66747] [2, 357567] [2, 475425] [2, 823725] [2, 828807] [3, 18248] [3, 32300] [3, 80920]

[3, 105260] [3, 481858] [3, 718838] [4, 53097] [4, 105513] [4, 305347] [4, 475425] [4, 497953]

[6, 142531] [10, 266251] [10, 572509] [12, 95075] [14, 657645] [15, 325528] [16, 71971] 

[19, 682318] [25, 816078] [36, 466211]




Menores números k para cada base 2 <= b <= 30 tales que N = b^(2^n) + k es primo para 7 valores consecutivos de n, de n = 0 a n = 6 :



66747, 18248, 53097, 2037018, 142531, 1691820, 1322535, 1659002, 266251, 6185640, 95075, 2518780, 657645, 325528, 71971, 2533260, 21494113, 682318, 3114879, 6523742, 9196027, 3588090, 12492473, 816078, 14837001, 12060370, 2933065, 12212058, 3122953




Menores números k para cada base 2 <= b <= 20 tales que N = b^(2^n) + k es primo para 8 valores consecutivos de n, de n = 0 a n = 7 :



475425, 2024098, 3014907, 2037018, 41758027, 69466840, 16925865, 71997050, 40680037,
140768712, 345831427, 1618212810, 940893195, 177981452, 531252621, 5977558392, 5666288693, 1741211812, 248537697


Mínimos números k tales que 3^(2^l) + k es primo n +1 veces consecutivas para l = 0,1,..,n


2, 2, 2, 2, 58, 440, 18248, 2024098, 4263330280, 22836544460


Mínimos números k tales que 4^(2^l) + k es primo n +1 veces consecutivas para l = 0,1,..,n


1, 1, 1, 1, 15, 93, 53097, 3014907, 2295032545


Mínimos números k tales que 5^(2^l) + k es primo n +1 veces consecutivas para l = 0,1,..,n



2, 6, 6, 48, 384, 1518, 2037018, 2037018, 44279730804


Mínimos números k tales que 6^(2^l) + k es primo n +1 veces consecutivas para l = 0,1,..,n


1, 1, 1, 11, 77, 1081, 142531, 41758027, 1206670783


Mínimos números k tales que 7^(2^l) + k es primo n +1 veces consecutivas para l = 0,1,..,n


4, 4, 10, 40, 990, 8712, 1691820, 69466840, 6173190532


Mínimos números k tales que 8^(2^l) + k es primo n +1 veces consecutivas para l = 0,1,..,n


3, 3, 3, 165, 1605, 52305, 1322535, 16925865, 43835882055


Mínimos números k tales que 9^(2^l) + k es primo n +1 veces consecutivas para l = 0,1,..,n


2, 2, 2, 58, 440, 18248, 1659002, 71997050, 6776406070