Sean números de la forma N = b^(c^n) + k (b, c, n enteros positivos mayores que 0, excepto n que puede ser 0; k entero distinto de cero, positivo o negativo) y consideremos para un número k determinado, qué números b producen 3, 4 o 5 números primos "consecutivos" desde para n = 0, 1, 2 hasta para n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 .
Es casi demasiado conocido que para b=2 , c =2 y k=1, se trata de los números de Fermat. Menos gente sabe que para que sean primos para valores sucesivos de n (5 valores consecutivos de n, por ejemplo, como en el caso de los números del francés); la condición de partida es que b y k sean de distinta paridad; uno par y el otro impar, de otra manera N sería divisible por 2, es decir par; pero no tiene porqué ser concretamente b= 2 y k=1; ni es por otra parte más importante la base "b" exponenciada que el sumando "k". b y k son igualmente determinantes para la primalidad de N.
1) c = 2 y k = 1
a) Números b tales que N = b^(2^n) + 1 es primo para 3 valores sucesivos de n; n= 0, 1 y 2 :
2, 6, 180, 210, 430, 466 hasta 5*10^3. Por ejemplo, los tres primos para b = 6 son 7, 37, 1297
b) Números b tales que N = b^(2)^n + 1 es primo para 4 valores sucesivos de n; n= 0, 1, 2 y 3 :
2, 19380, 285090, 337536, 448630 hasta 5*10^5.
c) Números b tales que N = b^(2^n) + 1 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0, 1, 2, 3 y 4
2, 337536, 585106, 602056, 2071960, 11861410, 20706120 hasta 5*10^7.
Los números que terminan en 2, (que son 2 mod 10) no pueden ser candidatos porque las potencias de 2 terminan ciclícamente en 2, 4, 6 y 4+1 = 5; una terminación en 5 es divisible siempre por 5 y no es primo con la excepción del propio número 5; que es la excepción para b = 2, en los números llamados de Fermat. La divisibilidad por 5, en algún momento, es la que impide que los números b terminados en 2 en 4 o en 8, exceptuando el propio 2, puedan tener primos para valores consecutivos de n.
2) c = 2 y k = 3
Números b tales que N = b^(2^n) + 3 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0, 1, 2, 3 y 4 :
2564954, 4505138, 6319754, 10004666, 13410068, 28358686, 31079126, 31331314, 37983154, 40470296, 43452004 hasta 5*10^7.
3) c = 2 y k = -3
Números b tales que N = b^(2^n) - 3 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0, 1, 2, 3 y 4 :
2652442, 3172720, 4564834, 9580670 hasta 10^7.
4) c = 2 y k = 2
Números b tales que N = b^(2^n) + 2 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0, 1, 2, 3 y 4 :
1, 22155, 1864149, 2760681, 6222765, 22687797, 25631319, 29309589, 33333069, 36490905, hasta 5*10^7.
Números b tales que N = b^(2^n) + 2 es primo para 6 valores sucesivos de n; n= 0, 1, 2, 3, 4 y 5
2760681 hasta 5*10^7.
5) c = 2 y k = -2
Números b tales que N = b^(2^n)- 2 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0, 1, 2, 3 y 4 :
191829, 5746411, 8636389, 9698023 hasta 10^7.
6) c = 2 y k = 4 o k = -4
Números b tales que N = b^(2^n) + 4 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0, 1, 2, 3 y 4 :
Los b deben de ser 5 mod 10 (terminados en 5) si se quieren más de 3 valores de n consecutivamente primos. No hay ningún b con 5 valores de n consecutivamente primos, si no me he equivocado, hasta b = 5*10^7. Y la razón de ello es que n^4 + 4 = (n^2 - 2*n + 2)*(n^2+2*n+2) y por tanto no es primo. Por otro lado N = b^(2^n) - 4 es la diferencia de dos cuadrados y por tanto no es primo.
7) c = 2 y k = 10
Números b tales que N = b^(2^n) + 10 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0, 1, 2, 3 y 4 :
1, 86913, 193123, 1860747 hasta 10^7.
8) c = 2 y k = -10
Números b tales que N = b^(2^n) - 10 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0, 1, 2, 3 y 4 :
27561, 859707, 1033281, 3354681, 6370581, 6442863, 8030397 hasta 10^7.
9) c = 2 y k = 25
Números b tales que N = b^(2^n) + 25 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0, 1, 2, 3 y 4 :
618, 822252, 1030222, 1071618, 1203438, 1385868, 2937922, 3114304, 6322336, 8826808,
10) c = 2 y k = 1000
Números b tales que N = b^(2^n) + 1000 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0, 1, 2, 3 y 4 :
172429, 1737307, 1963899, 2063913, 5855967, 6742069, 8911927, 9253569 hasta 10^7.
11) c=2 y k = -1000
Números b tales que N = b^(2^n) - 1000 es primo para 5 valores sucesivos de n= 0 a n = 4
264201, 923247, 2478177, 9310479 hasta 10^7.
12) c = 3 y k = 3
Números b tales que N = b^(3^n) + 3 es primo para 4 valores sucesivos de n = 0 a n = 3
10850, 41440, 106106, 209984, 232004, 680584, 1144526, 1908866, 2577310, 3478036, 4096316,
4774384, 5253604, 5310284, 5367200, 5514910, 5677220, 5853044, 6946060, 7058456, 7568566,
8030104, 8036986, 8652824, 9003874, 9607906, 9895460, 9975370 hasta 10^7.
13) Pares de números (b, k) para los que N = b^(2^n) + k es primo para 6 valores consecutivos de n, de n = 0 a n = 5 para b <= 30 y 1 < = k <= 100000
[2, 15] [2, 4647] [2, 15885] [2, 23055] [2, 25167] [2, 56907] [2, 58437] [2, 59007] [2, 63585]
[2, 66747] [2, 78567] [2, 82137] [2, 95787] [3, 440] [3, 18248] [3, 20120] [3, 32300] [3, 32360]
[3, 38180] [3, 40930] [3, 48778] [3, 54440] [3, 57710] [3, 71470] [3, 80920] [3, 82490] [4, 93]
[4, 2535] [4, 9087] [4, 10207] [4, 15667] [4, 35743] [4, 53097] [4, 61207] [4, 62307] [4, 66747]
[4, 74127] [4, 75013] [4, 82555] [4, 86557] [4, 87735] [5, 1518] [5, 4134] [6, 1081] [6, 2431]
[6, 2797] [6, 12583] [6, 14711] [6, 29393] [6, 34433] [6, 81167] [6, 95197] [7, 8712] [7, 19420]
[7, 28722] [8, 52305] [9, 32300] [9, 32362] [9, 80920] [10, 5383] [10, 26151] [10, 88641]
[11, 8058] [11, 93912] [12, 7165] [12, 95075] [14, 405] [14, 68247] [15, 11456] [16, 81] [16, 21091]
[16, 53097] [16, 71971] [16, 86067] [17, 66432] [19, 88848] [20, 1071] [20, 16641] [20, 30783]
[21, 15206] [21, 30496] [21, 69982] [22, 8607] [22, 51697] [22, 72255] [23, 12228] [23, 95208]
[25, 57688] [26, 56895] [27, 42322] [30, 3089]
Menores números k para cada base 2 <= b <= 30 tales que N = b^(2^n) + k es primo para 6 valores consecutivos de n, de n = 0 a n = 5 :
15, 440, 93, 1518, 1081, 8712, 52305, 32300, 5383, 8058, 7165, 196168, 405, 11456, 81, 66432,
102745, 88848, 1071, 15206, 8607, 12228, 270185, 57668, 56895, 42322, 339835, 120510, 3089
Conjeturo que esta sucesión no sólo es infinita sino que además, en ella están representados todos los números naturales sin excepción (Todo número natural b tiene un k).
Sea l la cantidad/longitud de estos primos producidos por valores consecutivos de n, con comienzo en n = 0.
Conjeturo además que para l = 7 ocurre lo mismo que para l = 6. No me atrevo a inducir más, pero lo pienso.
Conjeturo también, inspirado en el conocidísimo resultado de Terence Tao que existe un par de números enteros (b,k) para cualquier longitud l.
Nota: Mis conocimientos matemáticos son demasiado escasos, mi mente demasiado simple, para intentar siquiera demostrarlo; soy sólo un "amateur" matemático y nada más.
[3, 105260] [3, 481858] [3, 718838] [4, 53097] [4, 105513] [4, 305347] [4, 475425] [4, 497953]
[6, 142531] [10, 266251] [10, 572509] [12, 95075] [14, 657645] [15, 325528] [16, 71971]
[19, 682318] [25, 816078] [36, 466211]
Menores números k para cada base 2 <= b <= 30 tales que N = b^(2^n) + k es primo para 7 valores consecutivos de n, de n = 0 a n = 6 :
66747, 18248, 53097, 2037018, 142531, 1691820, 1322535, 1659002, 266251, 6185640, 95075, 2518780, 657645, 325528, 71971, 2533260, 21494113, 682318, 3114879, 6523742, 9196027, 3588090, 12492473, 816078, 14837001, 12060370, 2933065, 12212058, 3122953
Menores números k para cada base 2 <= b <= 20 tales que N = b^(2^n) + k es primo para 8 valores consecutivos de n, de n = 0 a n = 7 :
475425, 2024098, 3014907, 2037018, 41758027, 69466840, 16925865, 71997050, 40680037,
140768712, 345831427, 1618212810, 940893195, 177981452, 531252621, 5977558392, 5666288693, 1741211812, 248537697
Mínimos números k tales que 3^(2^l) + k es primo n +1 veces consecutivas para l = 0,1,..,n
2, 2, 2, 2, 58, 440, 18248, 2024098, 4263330280, 22836544460
Mínimos números k tales que 4^(2^l) + k es primo n +1 veces consecutivas para l = 0,1,..,n
1, 1, 1, 1, 15, 93, 53097, 3014907, 2295032545
Mínimos números k tales que 5^(2^l) + k es primo n +1 veces consecutivas para l = 0,1,..,n
2, 6, 6, 48, 384, 1518, 2037018, 2037018, 44279730804
Mínimos números k tales que 6^(2^l) + k es primo n +1 veces consecutivas para l = 0,1,..,n
1, 1, 1, 11, 77, 1081, 142531, 41758027, 1206670783
Mínimos números k tales que 7^(2^l) + k es primo n +1 veces consecutivas para l = 0,1,..,n
4, 4, 10, 40, 990, 8712, 1691820, 69466840, 6173190532
Mínimos números k tales que 8^(2^l) + k es primo n +1 veces consecutivas para l = 0,1,..,n
3, 3, 3, 165, 1605, 52305, 1322535, 16925865, 43835882055
Mínimos números k tales que 9^(2^l) + k es primo n +1 veces consecutivas para l = 0,1,..,n
2, 2, 2, 58, 440, 18248, 1659002, 71997050, 6776406070
No hay comentarios:
Publicar un comentario