lunes, 13 de enero de 2014

Los números naturales o enteros

Supongamos que existe un número natural (o entero) cualquiera denotado por  a  y definido de la siguiente manera :
 *a = (a/a - (a-a)) + (a/a - (a-a)) + ... + (a/a - (a-a)) en el que el sumando  (a/a - (a-a)) aparece exactamente "a" veces* (1). Y en el que se definen a las operaciones suma, resta y cociente entero, denotados respectivamente por  +, - y / como operaciones -intuitivamente, porque estamos intentando previamente definir los números enteros o naturales sin los cuales dichas operaciones carecen de sentido-  respectivamente de ampliación : (+), de reducción : (-) y de repartos sucesivos o restas sucesivas  hasta que el resto no alcance para otro reparto : (/); entonces *a + (a/a -(a-a)) =  (a/a - (a-a)) + (a/a - (a-a)) + ... + (a/a - (a-a)) en el que el sumando  (a/a - (a-a)) aparece exactamente "a + (a/a -(a-a))" veces* (2).
 Es lo que Peano llamaba el sucesor de "a" en sus axiomas/definición de los números naturales  y es verdad siempre que (1) sea verdad, habilitando el principio llamado de inducción de los números enteros.

LLamemos y escribamos, representemos  :  *a = (a/a - (a-a)) = 1*, en el que el sumando  (a/a - (a-a)) aparece exactamente (a/a - (a-a)) veces. Llamaremos también *a-a = 0*, para todo "a", con lo que para todo "a"  a/a = 1. Pero pronto se mostrará, que contrariamente a lo que se suele sugerir y decir, *el 0 es prescindible*. Por ejemplo las dos soluciones de la ecuación de segundo grado ax^2 + bx = c son x = (-b +/- raíz(b^2+4ac)) / 2a; las mismas que las de la ecuación ax^2 + bx + c = 0; pero no ha sido necesario, en la primera, utilizar el "0" en la expresión de la ecuación.

Podemos ya representar todos los números naturales por medio del "1" en un sistema de numeración no posicional en que todas las cifras tienen el mismo valor sea cual fuere su posición (7 =1111111, por ejemplo). La suma queda definida de manera que 1 + 1 = 11; 11 + 1 =111; ...; 111 + 11 = 11111;...
El sistema es sencillo pero costoso en trabajo. Escribir cien necesita escribir cien unos.

LLamemos  ahora a = (a/a - (a-a)) + (a/a - (a-a)) = 2  (2 = (2/2 - (2-2)) + (2/2 - (2-2) = 1 + 1 )
2 va a ser la base b, en que definimos la multiplicación general de b por b y la escribimos b^2 como b sumado b-1  veces. Luego b^3 = b por b^2, es decir la suma de b^2  b-1 veces. Y sucesivamente b^n = b por b^(n-1). En general cualqueir número n puede escribirse n = Suma (i=0, k) a(i)b^i donde 0<=a(i)<b, con la convención de que para todo b, b^0 = 1; convención que revalidamos incluso si suprimos los ceros en nuestros sistemas de numeración.

En base 2 (b=2) los números de nuestra base b =10 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se escriben respectivamente 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001
Por ejemplo 111 es 7 porque 111 = 1*2^2+ 1*2^1+1*2^0 = 4+2+1.
Si queremos saber cuanto es el 10 decimal en base 2, restamos de 10 las potencias de 2 más altas posibles: 10 = 2^3 + 2^1 = 8 + 2 ---> 10 = 1010 en binario.

****Algoritmo para prescindir de los ceros en cualquier base****

Se sustituye a cada cero significativo por la base b en que nos hallemos (2, en el caso binario) y se resta uno al grupo de cifras situado a la izquierda inmediata de esa sustitución.

Así 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 se escriben en *base 2 sin ceros* :
1,2,11,12,21,22,111,112,121,122,211,212,221,222
(14 es 222 porque 2*2^2 + 2*2^1 + 2^2^0 = 8 + 4 + 2 )

100 en base 2 es 100 = 2^6 + 2^5 + 2^2 = (64 + 32+ 4) = 1100100. Y 100 en *base 2 sin ceros* es, utilizando el algoritmo previamente explicado :  1100100 --->1100012--->1011212--->211212.
Comprobamos que 2*2^5+1*2^4+1*2^3+2*2^2+1^2^1+2*2^0 = 64 + 16 + 8 + 8 + 2+ 2 = 100.


****Números de la forma 10*n (n= 1,2,3,...) en base 10 sin ceros ( en el que el 10 se escribe a)****


a, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a, 7a, 8a, 9a, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, aa, 11a, 12a,...

Vemos bien que cualquier base se puede escribir sin ceros, con la misma precisión y validez en todas las operaciones. El 0 no es tan determinante como nos contaron, con la excepción del cálculo de b^n, en cualquier base, en las que basta escribir 1 seguido de n ceros (32= 2^5 = 100000 en binario, base 2, 81 = 3^4 = 10000 en base 3) Es además , el 0, la única cifra que es sustituible por su base, en cualquier base, al tener siempre a su izquierda alguna cifra significativa superior o igual a 1, de la que se puede restar 1.