viernes, 3 de enero de 2014

Si a tu ventana llama el 2014; trátalo con cariño, que está lleno de propiedades:



(Se añade en algunos casos fáciles, un programita escrito en Pari gp que  muestra esas propiedades)


*2014 es el máximo común divisor entre la suma y el producto de los 45 primeros números primos*

a=1;b=0;for(n=1,45,a=a*prime(n);b=b+prime(n);print1([gcd(a,b),n],,", "))
[2, 1], [1, 2], [10, 3], [1, 4], [14, 5], [1, 6], [2, 7], [77, 8], [10, 9], [3,10], [10, 11], [1, 12], [238, 13], [1, 14], [82, 15], [3, 16], [110, 17], [3, 18], [2, 19], [213, 20], [2, 21], [7, 22], [874, 23], [3, 24], [530, 25], [129, 26], [158, 27], [3, 28], [370, 29], [177, 30], [430, 31], [3, 32], [994, 33], [3,34], [2, 35], [3, 36], [646, 37], [2747, 38], [2914, 39], [21, 40], [3266, 41],[3, 42], [3638, 43], [3, 44], [2014, 45],

Por ejemplo, la suma de los 3 primeros números primos: 2, 3, 5 es 10 y su producto es 30; le máximo común divisor (gcd en inglés) será mcd(10 , 30) = 10.


*2013, 2014 y 2015 tienen el mismo número de divisores : concretamente 8 divisores*

for(n=3,2050,if(numdiv(n-1)==numdiv(n)&numdiv(n+1)==numdiv(n),print1([n,numdiv(n)],", ")))
[34, 4], [86, 4], [94, 4], [142, 4], [202, 4], [214, 4], [218, 4], [231, 8], [243, 6], [244, 6], [302, 4], [375, 8], [394, 4], [446, 4], [604, 6], [634, 4], [664, 8], [698, 4], [903, 8], [922, 4], [1042, 4], [1106, 8], [1138, 4], [1262, 4], [1275, 12], [1310, 8], [1335, 8], [1346, 4], [1402, 4], [1642, 4], [1762, 4], [1833, 8], [1838, 4], [1886, 8], [1894, 4], [1925, 12], [1942, 4], [1982, 4], [2014, 8]
Los 8 divisores de 2014 = 2*19*53 son :  1, 2, 19, 38, 53, 106, 1007, 2014.
(2013 = 3*11*61 y 2015 = 5*13*31).


*2014 es un número de la forma C(2n+1, 3) - C(n+1, 3) donde C(a, b) indica el número de combinaciones de a elementos tomados de b en b. Su valor es C(a, b) = a! / ((a-b)! b!) en donde n! = n*(n-1)*(n-2)...3*2*1 se llama el factorial de un número; con n= 12 para lo que C(2n+1, 3) - C(n+1, 3) = C(25, 3) - C(13, 3) = 25! / (22!* 3!) - 13! / (10!* 3!) = 2300 - 286 = 2014*


*Un número triangular T(n) es un número de forma T(n) = n*(n+1) / 2.  2014 es la suma de los 12 números triángulares consecutivos  del 12 al 23 : 2014 =    T(12) + T(13) + T(14)+ ...+T(23) y por lo mismo es la suma de los seis cuadrados impares consecutivos del 13^2 al 23^2, o lo que es lo mismo, es un número de la forma 6n^2 + 72n + 286, que son los números que son suma de seis cuadrados pares o bien impares consecutivos; para el caso n= 12. Como otro ejemplo, para n=1, 6n^2 + 72n + 286 = 364 es la suma de los seis cudrados pares consecutivos del 2^2 al 12^2*


* 2014 es tal que el número de Catalan (pero no de Mas, que sobra), menos uno, es primo. Catalan(n) = (2n)! / (n!(n+1)!). En otras palabras:  Catalan(2014) -1, un numero con 1208 cifras, es primo. Termina en 99*


*2014 es la suma de los 51 primeros números compuestos, es decir números que no son primos, como lo son sucesivamente : 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22,..., más la mitad de 51 redondeada a entero. El 51-ésimo número compuesto es el 72*


*2014 es el producto de los cuatro primeros números compuestos (4*6*8*9 = 1728 = 12^3 = 9^3 + 10^3 - 1) más la suma de los seis cudrados impares del 1^2 al 11^2 = 286*

*En la recurrencia a(n+1) = a(n)-ésimo compuesto, 2014 se halla en una priveligiada 22-ésima posición : 4, 9, 16, 26, 39, ....,1708, 2014,... (9 es el cuarto compuesto, 16 es el noveno,...,2014 es el 1708-ésimo,...) https://oeis.org/A006508  *