jueves, 11 de octubre de 2012

Matemática elemental al alcance de los literatos y otra gente de mal vivir y a veces bien pensar : Número de divisores impares consecutivos y pares consecutivos en un factorial.

Definamos que dos o más números impares divisores de un factorial n!, son consecutivos, si no hay ningún divisor par que se intercale entre ellos, aunque disten más de 2 unidades entre sí.
Recordemos que un factorial n! no es más que la multiplicación de todos los números a partir del n quitándoles 1 cada vez, hasta llegar a la multiplicación neutra por 1 (n! = n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1).

El menor par de números impares  que son divisores consecutivos de un factorial n! es :  (25, 27) para n=10, válido hasta n=12  ya que 26 = 2* 13 será divisor de 13! y de todos los fatoriales de enes mayores pero no de 10! ni 11! ni 12!. Los  siguientes son (33, 35) para n = 11, válido hasta n= 17; (75, 77) también para n = 11 y válido para n < 19 (76 =2*2*19 es un divisor de 19! ) , (85, 87) válido desde n = 29 hasta n = 42; (91, 95) para n = 19 hasta n = 22 y muchos más; mientras que el menor triple  es (115, 117, 119) para n = 23, como lo muestran estas 5 factorizaciones :


[115, [5, 1; 23, 1]] [116, [2, 2; 29, 1]] [117, [3, 2; 13, 1]] [118, [2, 1; 59, 1]] [119, [7, 1; 17, 1]] y es válido de n = 23 hasta n = 28 puesto que para n >= 29,  116 será divisor y se intercalará  entre los divisores 115 y 117.

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* Sobre la ecuación Diofántica |a^b - c^d| = k

Casualmente (25, 27) es probablemente la única solución (a, b, c, d, k) = (3, 3, 5, 2, 2), en enteros positivos a, b, c , d superiores a 1, para la ecuación |a^b - c^d| = k, con k = 2: 3^3 - 5^2 = 2. Notemos que  para k=1 se sabe, porque se ha podido demostrar hace poco, que la única solución (a, b, c, d, 1),  es (3, 2, 2, 3, 1): 3^2 - 2^3 = 1. Hay infinidad de soluciones triviales sin interés para k = 0, como por ejemplo : (2, 6, 4, 3, 0) o  (3, 4, 9, 2, 0) o bien (125, 3, 5, 9, 0) puesto que 2^6 = 4^3 ; 3^4 = 9^2 y 125^3 = 5^9.

Todo número impar k = 2n + 1 puede ser escrito de manera obvia como diferencia de dos cuadrados : k = 2n + 1 = (n + 1)^2 - n^2. Y todo número múltiplo de 4: k = rs; r y s distintos y pares ambos, es :  k = rs = ((r+s)/2)^2 - ((|r-s|)/2)^2. No contaremos esas soluciones por triviales.

Para k = 5, obviando la solución trivial, diferencia de dos cuadrados :  3^2 - 2^2 = 5, sólo se conoce esta :
2^5 - 3^3 = 5. Y para k = 3, sólo se ha descubierto hasta ahora esta solución : 2^7 - 5^3 = 3. ¡Pero nadie ha podido hasta ahora demostrar que esas soluciones son las únicas posibles! Y yo tengo el cerebro demasiado incapacitado para poder conseguirlo; pero controlo lo que digo y hago, a pesar de todo. Y no pido. No digo, en el sentido de pedir, ni hago nunca nada que vaya en contra de una ética y moral o de un orden elementales y de sentido común.
Sólo estas 3 soluciones se conocen para k = 4 : 2^3 - 2^2 = 4; 6^2 - 2^5 = 4; 5^3 - 11^2 = 4.

Algunas de las escasas soluciones con cuadrados relativamente altos son para k = 19; k = 26; k= 60 :

55^5 - 22434^2 = 19
2537^2 - 23^5 = 26
76^5 - 50334^2 = 60

Debo decir que no tengo ni idea de si es casual o no el hecho de que todas sean diferencia de potencia cinco y de cuadrado o al revés. Supongo que es una casualidad; pero es una suposición no fundamentada.

Si excluimos también las soluciones a la ecuación |a^b - c^d| = k, en las que b o d sean 2 (los cuadrados no son aceptados), tenemos:

3^3 - 2^3 = 19
2^5 - 2^3 = 24
6^3 - 2^7 = 88

Diferencia de 2 cubos, que uno de ellos no sea un cubo de 2 como para  k= 19 o una potencia de 2,  son :

6^3 - 5^3 = 91
5^3 - 3^3 = 98
7^3 - 6^3 = 127
8^3 - 7^3 = 169
6^3 - 3^3 = 189

Y si  a la ecuación  |a^b - c^d| = k ( |x| significa valor absoluto de x, es decir que |x| = x si x>=0 y |x| = -x si x<0, de tal manera que |x| será siempre positivo) es considerada para a, b, c, d enteros positivos superiores todos a 2, sólo se conocen  hasta k = 100, aparte de las dos anteriores (k = 91 y k = 98), las siguientes soluciones:

13^3 - 3^7 = 10
3^5 - 6^3 = 27
7^3 - 3^5 = 100

Una búsqueda rápida por ordenador, que no sean potencias de 2 en la forma disfrazada de 4^m = 2^2m o 8^m = 2^3m o 9^m = 3^2m o 16^m = 2^4m, o ..., o que no sean cuadrados como lo es todo exponente par, produce estas otras para 100 <  k <= 250 :

3^5 - 5^3 = 118
3^5 - 3^3 = 216
20^3 - 6^5 = 224
15^3 - 5^5 = 250

Hasta k = 1000 hay otros otras 5 soluciones que son diferencias de potencias de 3 y de 5 y no potencias de 2 o cuadrados, para los siguientes valores : k = 381, 757, 769,  917, 928;  3 soluciones diferencia de potencias de 3 y 7 par k = 459, 557 y 856 y una solución diferencia de potencias 5 y 7 que vale la pena escribir aquí, al ser primos a, b, c y d  aunque no k : 5^5 - 3^7 = 938. No hay ninguna solución (a, b, c, d, k) todos ellos  primos si todos son superiores a 2, puesto que  a^b y c^d serían impares y por tanto k sería par, divisible por 2.
4^5 - 3^5 = 781 sería una solución diferencia de quintas potencias; pero 4^5 = 2^10 = 1024 = un kilo binario; es  una potencia de 2 , que excluimos.

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El siguiente triplete de divisores impares consecutivos de un factorial n! es (243, 245, 247) para un n inferior al anterior, n = 19.

[243, [3, 5]] [244, [2, 2; 61, 1]] [245, [5, 1; 7, 2]] [246, [2, 1; 3, 1; 41, 1]] [247, [13, 1; 19, 1]]

Pero a partir de n! = 41! el divisor par 246 se intercalará entre 245 y 247 dejando al triplete de divisores impares sin existencia; pero hay muchísimos más, como (663, 665, 667) para n = 29 o (729, 735, 741) para n = 19.

El menor cuadriplete de divisores  impares consecutivos de un factorial es : (4641, 4655, 4669, 4675) , divisores de n! = 29!; al que sigue (8073, 8075, 8085, 8091)  de n! = 31!.

El menor quintuplete es (48763, 48807, 48825, 48841, 48875) de divisores impares consecutivos de 34! entre los que no existe ningún divisor par de  34! = 2,9523279903960414084761860964352*10^38 (escrito con la precisión de 32 dígitos de la calculadora de Windows; faltan los 7 últimos)
34! = 34*33*32*....*14*13*12*11! = 7396204080477496714356326400000*11! = 7396204080477496714356326400000*39916800; he tenido que recurrir a este truco para saber cuales son los últimos 7 dígitos del factorial, que la calculadora se negaba a proporcionarme y vemos que son precisamente 7 (5+2) ceros, por lo que los 39 dígitos exactos de 34!  son (factorial de 34 escrito exactamente) : 34!= 295232799039604140847618609643520000000.
Sabemos que cualquier número par entre 48763 y 48875 en el intérvalo del quintuplete tendrá un factor primo mayor que 34 o un factor primo al cuadrado mayor que 17 o uno al cubo mayor que 11. Por ejemplo 48800 = 2^5*5^2*61 = 2*2*2*2*2*5*5*61. Y como sólo hay 5 números impares en todo el intérvalo, lo mismo se aplica a los impares y como ejemplo: 48801 = 3*16267 siendo 2, 3, 5 y 16267 números primos no reducibles por división y 61 y 16267 superiores a 34 como era de esperar.

Hay 8 divisores en 4! = 4*3*2 = 24 que son : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 pero 10!  tiene 270 y 34! tiene 12165120 divisores.
La función "divisors" del lenguaje de programación Pari gp, gratuito pero de calidad, de la universidad de Burdeos, que utilizo; se atasca rápidamente por el alto número de divisores de los factoriales, de manera que no puedo pasar del límite de 34! para calcular los  menores sextupletes, 7-pletes, 8-pletes, ... de divisores impares consecutivos de factoriales. Tendría que escribir yo una función divisora limitada  a los divisores más pequeños que un cierto límite par cada n y por desgracia soy muy mal programador, auto educado, sin los conocimientos elementales de clasificación y conservación de datos, que requiere tal tarea.

He aquí esta sucesión que debiera ser ampliada con más términos:

1,  25,  115,  4641,  48763    (1)

Y su definición:

Menor número iniciando  la menor sucesión de n divisores impares consecutivos sin ningún divisor par entre ellos, de algún factorial s!

Los valores mínimos de s son: 1, 10, 23, 29, 34
Los valores de n son : 1, 2, 3, 4, 5
No sé si la sucesión tiene infinitos términos o no. Quizás es una sucesión finita.

Nota posterior al 03/11/2012 :

La sucesión (1) no es correcta debido a que utilicé la función "divisors (n!)" del lenguaje de programación Pari gp, que consume memoria del ordenador de forma desproporcionada, cuando se trata de factoriales, lo que me limitaba los resultados a factoriales inferiores a 34!, con un consumo enorme de 10^9 bytes de memoria  RAM.
Esta es la sucesión correcta con 8 términos :

1, 25, 115, 1001, 4429, 7657, 34365, 49375  (4)

Los valores mínimos de s son:  1, 10, 23, 67, 211, 163, 157, 163.

Y si se pide que los divisores impares en cada cadena no estén distantes más de 2 uno del otro, esta es la sucesión adecuada con 12 términos :

1, 25, 115, 1001, 5941, 7657, 49375, 49375, 439085, 1125225, 1125225, 88121145,  (5)

Cada término hasta el 12 multiplica al precedente un promedio de (888121145)^(1/11) = 5,28 veces más o menos, por lo que  el término 12 = término 11 * 78 aproximadamente,está bastante alejado de la media y podría estar indicando que la sucesión es finita y está en sus últimos términos. Pero esto que digo puede ser inexacto, es más intuición matemática que otra cosa. 

Y aquí va el programa, escrito en el lenguaje Pari gp, para hallar el menor número de la cadena mínima para n = 10 :



g=10;forstep(p=3,10000001,2,i=0;v=vector(g);forstep(n=p,p+2*(g-1),2,i++;a=factor(n)[,1]~;b=#(a);v[i]=a[b]);c=vecmax(v);j=0;u=vector(g-1);forstep(o=p+1,p+2*(g-1)-1,2,j++;d=factor(o)[,1]~;e=#(d);u[j]=d[e];f=vecmin(u);if(f>c,print([o-2*g+3,c,f]))))

Y este que sigue era el programa, también en Pari gp, para hallar la cadena mínima para n = 4, que no era la mínima, puesto que el programa no podía pasar de s! = 34!; al trabajar con todos los divisores de un factorial y requerir demasiada memoria y la solución mínima : 1001 es para s = 67.


for(n=4,29,a=n!;c=divisors(a);for(i=2,#c-1,s=c[i];r=a/s;if(s%2==1&c[i+1]%2==1&c[i+2]%2==1&c[i+3]%2==1,print([n,s,c[i+1],c[i+2],c[i+3],i]));if(r<s,next(2))))


En efecto, no es necesario conocer todos los divisores de los factoriales para hallar los términos de estas sucesiones. Basta prácticamente con conocer el mayor divisor primo de una cadena de números impares y que este sea inferior a cualquiera de los divisores primos mayores de cada número par existente entre los impares en cuestión.



*El panorama para los divisores pares consecutivos de factoriales es altamente desproporcionado en relación al de sus colegas impares.*

Para empezar ya tenemos 5 divisores pares consecutivos, sin ningún divisor impar entre ellos, en 4! = 24 :
(4, 6, 8, 12, 24).

6 divisores pares consecutivos en 5! = 120 :
 (20, 24, 30, 40, 60, 120)

7 divisores pares consecutivos en 6! = 720 :
(16, 18, 20, 24, 30, 36, 40)

16 divisores pares consecutivos  sin ningún impar intercalado en 8! = 40320
(112, 120, 126, 128, 140, 144, 160, 168, 180, 192, 210, 224, 240, 252, 280, 288)

17 consecutivos de 3520 a 4400  para 12!

18 , de 9072 a 10368 para 13!

22, de 52416 a 57600 para 14!

Sea esta sucesión :

2, 4, 4, 4, 4, 16, 16, 112, 112, 112, 112, 112, 112, 112, 112, 112, 3250, 9072, 10560, 10560, 27216, 52416, 112000, 112000, 112000, 112000, 190800, 190800, 190800, 190800, 190800, 190800, 190800, 784000, 784000,...         (2)

Cuya definición es :

Menor número iniciando  la menor sucesión de n divisores pares consecutivos sin ningún divisor impar entre ellos, de algún factorial s!

Los valores mínimos de s son : 2, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 12, 13, 12, 12, 13, 14, 16, 16, 16,...

Los valores de n empiezan en 1 y se incrementan uno a uno.

Y si se requiere que cada cadena esté compuesta de números pares que disten uno de otro no más de 2 unidades, entonces la sucesión es esta:

2, 4, 4, 66, 304, 680, 1054, 1558, 15904, 41638, 82800, 241898, 241898, 241898, 241898     (6)

Para valores mínimos de s: 2, 4, 4, 17, 31, 43, 59, 157, 379, 631, 2179, 2479, 2479, 2479, 2479
Y valores máximos de s respectivos: 2, 4, 4, 23 - 1, 61 - 1, 53 - 1, 71 - 1, 223 - 1 , 1061 - 1, 661 - 1,  2671 - 1, 4937 - 1, 4937 - 1, 4937 - 1,  4937 - 1

Por ejemplo: 66, 68, 70, 72 es la menor cadena de 4 números pares; distanciados uno del otro no más de dos unidades y divisores de factoriales s! de s = 17 a s = 22; sin ningún divisor impar entre ellos. La siguiente para n = 4 es : 108, 110, 112, 114 de s = 19 a s = 36. Pero la sucesión sólo indica el menor término de la menor n-cadena existente para cada n.

Comparando con la misma sucesión para los impares, sucesiones (5) y (6); y para el mismo n= 4; el menor impar es 1001 : 1001, 1003, 1005, 1007; unas 15 veces superior a 66; para n= 10, el impar es unas 27 veces el valor del par; lo cual muestra que los números pares dominan el mundo de los números, no sólo en lo concerniente a los divisores de factoriales. Los múltiplos de 2 ganan la partida a los impares.



La consecutividad de los números pares divisores de factoriales es abrumadora, empacha y llena a rebosar la pantalla del ordenador para factoriales a partir de 19 o 20 y se debe a que el 2 es el factor primo más abundante en un factorial.
Sea enti(n/a) una función que nos de el número entero inferior, sin los decimales, del cociente n/a; equivalente al estadounidense floor (ents(n/a) sería equivalente al estadounidense ceiling).
 El número de factores de un mismo número primo p, de un factorial n! es:
enti(n/p) + enti(n/p^2) + enti(n/p^3) + ...

Así 2 divide 34! : enti(34/2) + enti(34/4) + enti(34/8) + enti(34/16) + enti(34/32) = 17 + 8 + 4 + 2 + 1 = 32 veces; mientras que 3 divide a 34! :  enti(34/3) + enti(34/9) + enti(34/27) = 11 + 3 + 1 = 15 veces
pero 13 y 17 sólo lo dividen 2 veces y 19, 23, 29 y 31 sólo una vez:

 34! = 2^32*3^15*5^7*7^4*11^3*13^2*17^2*19*23*29*31

Como 10 = 2*5 y el 2 divide a un factorial más veces que el 5, basta con calcular las veces que 5 divide a n! para saber el número de ceros que tiene al final: 7 en el caso de 34! y para el caso de 100 : enti(100/5)  + enti(100/25) = 20 + 4 = 24.

Aprovechando que Pari gp da el valor exacto de los grandes números :


100!  =

93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

Para saber su número de dígitos sin tener que contarlos basta con hacer : logaritmo-decimal (100!) = log(100!) = 157,97 ---> número-de-dígitos(100!) = entero-superior(log(100!)) = ents( log(100!)) = 158 dígitos.
 Y ya que estamos en ello, si quisiéramos calcular el número de ceros finales de 1000!, estos serían : 200 + 40 + 8 + 1 = 249 de un total de ents(log(1000!)) = 2568 dígitos.
 Y notemos también que el cociente número-dígitos(n!) / n es creciente cuando n crece, valía 1,58 para n = 100 y 2,568 para n = 1000. El número de dígitos de n! crece más rápido que el crecimiento lineal o proporcional simple.


Consideremos por último esta sucesión :

1, 4, 49, 217, 637, 216580, 285333125       (3)

cuya definición bien podría ser :


Menor número iniciando  la menor sucesión de n divisores no múltiplos de 3, consecutivos sin ningún divisor múltiplo de 3 entre ellos, de algún factorial s!

Los valores mínimos de s son respectivamente : 1, 5, 14, 31, 29, 31, 34

Los números completos son :

1
4, 5
49, 50, 52
217, 220, 221, 224
637, 638, 640, 644, 646
6 valores de 216580 a 217000
7 valores de 285333125 a 285392464

Los 4 términos tras el primero de la sucesión (3) son en promedio unas 25 veces menores que los mismos de (1) y serían aún menores si se considerara la sucesión de n divisores consecutivos no múltiplos de 5 de algún factorial s! sin ningún divisor múltiplo de 5 (0 mod 5) entre ellos.

Nota : Puede haber alguna inexactitud en  las sucesiones (1), (2) y (3). El propósito de este texto plagado en exceso  de números; lo admito; no era, paradójicamente, el de ser inmaculadamente exacto, sino el de intentar mostrar un método. Vanamente, claro...
No siento yo ningún tipo de fetichismo hacia los números, pero tampoco los desprecio. No hay que despreciarlos. Un número en sí solo poco significa si no expresa alguna relación con algo; permite medir, es decir permite comparar con cautela y sin exceso interpretativo pero *justamente*. Nada más; nada menos.


Nota final:

Este breve compendio numérico no pretende demostrar nada a nadie, ni siquiera ser ameno o divertido. Para entender la matemática, incluso elemental y harto sencilla como esta; hay que sudar de todas formas;  aburridos  y escasos lectores; como el  que escribe esto.