sábado, 6 de junio de 2015

¿ Cuantos son los números enteros consecutivos que multiplicados entre sí, más otro número entero cuadrado, darán un cuadrado ?

 

   Es relativamente sencillo de comprobar que el producto de cuatro números enteros consecutivos

más otro número entero t^2 es un cuadrado si t = 1 porque

 n*(n+1)*(n+2)*(n+3) + t^2 = n^4 + 6*n^3 + 11*n^2 + 6*n * t^2    

 y            (n^2+b*n+t)^2 =  n^4 + 2*b*n^3 + (b^2 + 2*t)*n^2 + 2*t*b*n + t^2

lo que nos da que b = 3 y t = 1.

   
n*(n+1)*(n+2)*(n+3)  + 1 =     (n^2+3*n+1)^2 = (n + (n+1 )^2)^2


Esta identidad es cierta cualquiera que sea el número entero positivo por el que se empieza. :


n = 0 ---> 0*1*2*3 + 1 =   1   = (0+1^2)^2   =  1^2

n = 1 ---> 1*2*3*4 + 1 = 25   = (1+2^2)^2   =  5^2

n = 2 ---> 2*3*4*5 + 1 = 121 = (2 + 3^2)^2 = 11^2

n = 3 ---> 3*4*5*6 + 1 = 361 = (3 + 4^2)^2 = 19^2

n = 4 ---> 4*5*6*7 + 1 = 841 = (4 + 5^2)^2 = 29^2

.......

La sucesión de los términos está documentada en la excelente estadounidense On-line Encyclopedia 

of Integer Sequences : 

https://oeis.org/A028387


Al ser un polinomio cuadrado, su grado ha de ser par por lo que el número de números consecutivos 

multiplicados entre sí ha de ser también par.                                                                            (1)


Los coeficientes de los polinomios que son producto de m números consecutivos, fueron estudiados por el escocés Stirling, por lo que llevan el nombre de números de Stirling de primera especie que denotaremos aquí por (n, k), en negrita .

n*(n+1)...(n+m-1) = Suma(de k = 0 a k = m) (m, k)*n^k

Tienen las siguientes propiedades fácilmente comprobables :

(n, 1) = (n-1)*(n-2)*...*2*1
(n, n-1) = n*(n-1) / 2
(n, n-2) = n*(n-1)*(n-2)*(3*n-1) / 24
(n, n-3) = n^2*(n-1)^2*(n-2)*(n-3) / 48
(n, n) = (0, 0) = 1
(n, 0) = (0, n) = 0
(n+1, k) = n*(n, k) + (n, k-1)



http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_numbers_of_the_first_kind

No conocía yo tampoco estos números de Stirling, mi cultura matemática y general es limitada, pero se hace camino al andar. Al intentar resolver este problema, me he topado con ellos. Lamento que tanto la OEIS de Sloane como el *buen y *breve** artículo matemático de wikipedia, indispensable sobre estos números, sólo estén en inglés.




Cualquiera que sea el grado y por lo tanto la longitud del polinomio cuyo cuadrado quisiéramos igualar al producto de m números consecutivos enteros más un número entero t^2, denotaremos los  coeficientes de sus monomios de mayor a menor grado por sucesivamente : 1, b, c, d, e, f, ...

Por ejemplo : 

(n^6+b*n^5+c*n^4+d*n^3+e*n^2+f*n+t)^2 =

n^12 + 2*b*n^11 + (b^2 + 2*c)*n^10 + (2*c*b + 2*d)*n^9 + (2*d*b + (c^2 + 2*
e))*n^8 + (2*e*b + (2*d*c + 2*f))*n^7 + (2*f*b + (2*e*c + (d^2 + 2*t)))*n^6 + (2
*t*b + (2*f*c + 2*e*d))*n^5 + (2*t*c + (2*f*d + e^2))*n^4 + (2*t*d + 2*f*e)*n^3
+ (2*t*e + f^2)*n^2 + 2*t*f*n + t^2


Los coeficientes de los cinco monomios de mayor grado, de mayor a menor, de cualquier polinomio 

cuadrado de grado superior a 6 son: 

1,  2*b,   b^2 + 2*c,   2*(b*c + d),  2*(b*d+e) + c^2                                         (2)



  Consideremos los productos de m = 4*k + 2 números consecutivos (k =1,2,3,..). Por las propiedades de los números de Stirling anotadas previamente, el coeficiente del monomio de grado m - 1 del polinomio, es       (m, m-1) =  m*(m-1) / 2 = (4*k + 2) * (4*k + 1)  / 2 =  (2*k  + 1) * (4*k  + 1 ). El producto de dos impares es un impar y debe ser igual a 2*b, un número par, por (2) .




 Contradicción por lo que no puede ser que  la suma de un producto de 4*k +2 números enteros consecutivos más un cuadrado entero  sea un  cuadrado. Un mínimo de reflexión llevará al amable y más que paciente lector a deducir de ello, que para poder ser cuadrado ese producto  debe de ser el de 8*k  o 8*k + 4 números consecutivos (k = 1, 2, 3, ...).     (7)   





Los coeficientes del monomio  n^(m-2) del polinomio de grado m cuando m = 8*k + 4

son (8*k + 4, 8*k + 2) = (8*k + 4)*(8*k + 3)*(8k + 2)*(24*k +11) / 24 = (2*k + 1)*(8*k + 3)*(4*k

+1) *(24*k + 11) / 3 = (2*k + 1)*(4*k´ + 3)*(4*k + 1) *(4*k" + 3) / 3  tomando k´ = 2*k                            
y  k´´ =  6*k +2.

Un número entero r es de la forma r = u*l + v si cuando se divide al número r por u, con cociente entero, su resto es v.  En cada grupo de tres números consecutivos,  uno es divisible por 3, por lo que el resultado de la división del producto de tres o más números consecutivos, por 3, es un número entero . Lo importante cuando se habla de que un número r es de la forma u*l + v no es el valor de l, que no importa, sino el valor de u y el valor de v. Quien sepa utilizar los módulos, puede utilizarlos.

El producto de dos números de la forma 4*l + 3 es de la forma 4*l + 1, al igual que el producto de

dos números de la forma 4*l  + 1 por lo que (8*k + 4, 8*k + 2) es de la forma (2*k +1) * (4*l +3)

 Si k es par, k = 2*l´ ;  2*k +1 = 4*l´ + 1.  Si k es impar k = 2*l´ + 1;  2*k +1 =  4*l´ + 3.




Si k es par (8*k + 4, 8*k + 2) es de la forma 4*l +3 y de la forma 4*l +1 si k es impar                (3)




Un análisis similar al precedente nos desvela que los coeficientes (m, m-3) son impares si m tiene


resto 6 o 7, al dividirlo por 8 (formas 8*l + 6 u 8*l + 7 o bien 8*l´- 2 y 8*l´- 1; (tomando l´= l - 1)) y

pares en los demás seis casos de los  restos 0, 1, 2, 3, 4, 5.                                                          (8)



Por la regla general de recurrencia de los números de Stirling de primera especie

(8*k + 4, 8*k) = (8*k + 3)*(8*k + 3, 8*k) + (8*k + 3, 8*k - 1)


(8*k + 3, 8*k) es par por (8); el producto de cualquier número por un número par es par y la

suma de cualquier número con un número par lleva la paridad del primer número. Por lo que

(8*k + 4, 8*k) lleva la paridad de (8*k + 3, 8*k - 1). 


Esta transferencia de paridad en descenso contínua, sólo rota en el caso de (8*k, 8*k - 4) que lleva la

paridad inversa de (8*k -1 , 8*k - 5) por lo que (8*k + 4, 8*k) lleva la paridad inversa de (8*k - 4, 

8*k - 8) que es el caso cuando k es sustituido por k -1 y la paridad de k cambia.

En concreto, para k = 1, impar; (12, 8) = 357423 es impar. Concluimos que :



(8*k + 4, 8*k) lleva la paridad de k                                                                                       (4)   



 Por  (2) y (4) sabemos que  2*(b*d+e) + c^2  =  (8*k + 4, 8*k) tiene la paridad de k. Deducimos 

correctamente  de ello que c tiene la paridad de k.                                                                            (5)



Por (2), (8*k + 4, 8*k + 3) = 2*b = (8*k +4)*(8*k +3) / 2  ---> b = (2*k +1)*(8*k +3) es impar --->

b^2 tiene resto 1 al dividirlo por 4, como  todos los cuadrados de números impares.


 Por (2) y (3) tenemos que (8*k + 4, 8*k + 2) b^2 + 2*c  es de la forma 4*l +3 si k es par y de la

forma 4*l +1 si k es impar. Luego c es impar si k es par y par si k es impar, contradiciendo a (5).


 No existen productos de m números consecutivos enteros más  otro número entero cuadrado, que 

sean cudrados  si m es de la forma 8*k + 4                                                                               (6)




(1), (7) y (6) concluyen que para que la suma de un  producto de m números enteros consecutivos más  otro número entero cuadrado sea un cuadrado, cualquiera que sea el número de inicio, m debe de ser de la forma m = 8*k (k=1,2,3,4....) siendo el producto de 4 números consecutivos  más el número uno la única excepción a la norma y probablemente el único caso que exista, mis reducidos conocimientos matemáticos no me permiten demostrarlo.