jueves, 20 de agosto de 2015

Reseña modular breve sobre la ecuación diofántica : a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = e^4

 
    Mi intención no es dirigirme a expertos sino a aficionados como yo mismo. Los números en sí no significan nada, pero es a veces difícil ver las relaciones matemáticas que rigen entre ellos y esto es lo atractivo de la teoría de los números, y  por ello escribo esto, para divulgar a un nivel de mera afición, para aficionados; muy lejos de la especialidad y de los especialistas.

 Utilizaré la notación siguiente :  r = s mod t para expresar que s es el resto de la división entera de r entre t. Por ejemplo  17 = 2 mod 5 significa que el resto de la división entera de 17 entre 5 es 2; puesto que 17 = 3*5 + 2.

Los cuadrados son siempre (todos) 0 mod 5 o 1 mod 5 o 4 mod 5 porque 3^2 mod 5 = 9 mod 5 = 4 mod 5 y 4^2 mod 5 = 16 mod 5 = 1 mod 5.  Y las potencias cuartas sólo pueden ser 0 mod 5 o 1 mod 5 por lo anterior. (En efecto, y como ejemplo, (5*k + 4)^2 = 25*k^2 + 40*k + 16 = 5*k1 + 16 = 5*k2 + 1; tomando en este caso preciso k1 = 5*k^2 + 8*k y k2 = k1 + 3).


Los cuadrados son siempre (todos) 0 mod 8 o 1 mod 8 o 4 mod 8 porque 3^2 mod 8  = 9 mod 8 = 1 mod 8 ; 4^2 mod 8 = 0 mod 8, 5^2 mod 8 = 1 mod 8, 6^2 mod 8 = 4 mod 8, 7^2 mod 8 = 1 mod 8, 8^2 mod 8 = 0 mod 8. Y las potencias cuartas son siempre 0 mod 8 o 1 mod 8  

Así que en la ecuación    a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = e^4 
sólo podemos tener en módulo 5 estas dos formas:

 0 + 0 + 0 + 0 = 0    o bien     0 + 0 + 0 + 1 = 1

puesto que 0 + 0 + 1 + 1 = 2    y  2 mod 5 no puede ser una potencia cuarta o bien 1 + 1 + 1 + 1 = 4
y 4 mod 5 no es nunca una potencia cuarta, como tampoco lo puede ser 3 mod 5.

Y exactamente lo mismo ocurre en módulo 8.

La opción   0 + 0 + 0 + 0 = 0 queda descartada en ambos módulos 5 y 8 porque sólo obtendríamos soluciones (a, b, c, d) = e obvias con a, b, c, d, e todos ellos múltiplos de 5 o bien de 8, a partir de soluciones primitivas obtenidas con  la condición obligatoria  0 + 0 + 0 + 1 = 1 en ambos módulos.

Un número que es 1 mod 8 es un número de la forma 8*k + 1 y es siempre impar, de la forma 2*k1 + 1 con k1 = 4*k. El hecho de que impar * impar = impar nos garantiza que si x^4 es impar también lo son x^2 y x. Luego uno de los 4 números, a, b, c, d ha de ser impar y los  otros tres han de ser pares.También el número e es  siempre impar.
Tres de los números a^4 , b^4 , c^4 o d^4 han de ser 0 mod 5 es decir múltiplos de 5 y como son potencias cuartas son múltiplos de 5^4 = 625.
A diferencia de lo que ocurre en mod 8 en que si un apotencia cuarta  x^4 es 0 mod 8, x^2 puede ser
0 mod 8 o bien 4 mod 8 y x puede ser 0 mod 8 o bien  2 mod 8 o  bien 4 mod 8 o bien 6 mod 8; en mod 5 si x^4 es 0 mod 5, entonces x^2 es 0 mod 5 y x es 0 mod 5. Queda mostrado que tres de los números a, b, c, d son múltiplos de 5.


Estas conclusiones modulares permiten ahorrar mucho triempo, cuando se implementan en el algoritmo que se programará en el ordenador que calculará las soluciones (a, b, c, d) = e, dentro de un rango determinado. No parece que exista ninguna identidad matemática que produzca un número infinito de soluciones; aunque quizás no todas las soluciones de esta ecuación. (Frecuentemente ocurre que aunque se produzcan un número infinito de soluciones, por medio de alguna identidad, en una ecuación Diofántica, estas no son todas las soluciones de la ecuación). No sé tampoco si la ecuación ha sido resuelta completamente o no. Creo que no.


Estas son las 3 primeras soluciones, tomadas de la excelente página web de Eric Weisstein :



(30, 120, 272, 315) = 353
(240, 340, 430, 599) = 651
(435, 710, 1384, 2420) = 2487

http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation4thPowers.html