viernes, 18 de diciembre de 2015

Las sorpresas del 2016 entrante; un ensayo de literatura exacta numérica.

 

  Del Internet gratuito y no obstante de buena y a veces, aunque pocas, muy buena calidad, he deducido lo siguiente, en unas pocas horas, respecto  a las virtudes numéricas del año que está por llegar. Más que filosofía, es una literatura , una literatura exacta sobre el número 2016.






       Una estrella elegante de 24 puntas; un fractal en ciernes pero fallido aquí; generado por   
                                                                         ordenador.



  ** 2016 es el 21ésimo número tringular T, (de la forma n*(n+1) / 2 con n = 63) y tal que T + 1 (2017 en este caso) es primo. Como ocurre para todos los números triángulares, que son siempre la suma de todos los números naturales desde el 1 hasta n; 2016 = 1 + 2+ 3+ 4+ 5+...+ 59+ 60+ 61+ 62 + 63. Es suma de 3 números consecutivos : 2016 = 671 + 672 + 673, y 3 es el menor número de números consecutivos que pueden sumar igual a un número par, si este es divisible por 3. El menor número par divisible por 3 es 6 = 1 + 2 + 3. Todo número impar n es suma de 2 números consecutivos (n-1) / 2 + (n+1) / 2.

  ** Los números perfectos; aquellos que son iguales a la suma de sus divisores, menos ellos mismos; son de la forma 2^(p - 1)*(2^p - 1) siendo p un número primo y 2^p - 1 un número primo de Mersenne. 2016 es de la forma 2^(n - 1)*(2^n - 1)  con n = 6. Se escribe en binario (base 2) : 11111100000 ( 6 unos consecutivos seguidos de 5 ceros consecutivos; porque es la suma de las siguientes potencias consecutivas de 2 : 2^5 + 2^6 + 2^7+ 2^8 + 2^9 + 2^10 = 32 + 64+ ... + 1024 )
 2016 = 3^6 + 3^6 + 3^5 + 3^5 + 3^3 + 3^3 + 3^2 + 3^2, de manera que se escribe 2202200 en base 3 (133200 en base 4, 13200 en base 6, 5610 en base 7, 3740 en base 8, 2680 en base 9. Siempre terminará en 0 si la base es un divisor del número; 2016 = 31031 en base 5; usa todos los dígitos posibles en base 4 y en base 2)

  ** 2016 sólo es palíndromo 6 veces en su representación de entre las 100 primeras bases, porque se escribe 42 42 en base 47 (42*47 + 42 = 2016), 36 36 en base 55, 32 32 en base 62, 28 28 en base 71, 24 24 en base 83, 21 21 en base 95. (Bases del 2 al 101).

  ** Un número de Lychrel es un número que si se suma al obtenido invirtiendo  la posición de sus dígitos, no se obtiene un palíndromo aunque se repita indefinidamente el proceso. 2016 no es número de Lychrel en base 10, puesto que 2016 + 6102 = 8118 que es un palíndromo. Tampoco lo es en ninguna de las bases menores que 10. El número más cercano que bien pudiera ser de Lychrel en base 10 (¿pero cómo demostrarlo?) es el 1997. Se ha demostrado que 22 = 10110, es número de Lychrel en base 2 y 255 = 3333, lo es en base 4.

  ** 32-ésimo número hexagonal de forma n*(2*n - 1) (con n = 32) y suma de números de la forma 4*k + 1 (k = 0, 1, 2,..., n -1): 1+ 5 + 9 + 13 + ... + 125 = 2016.

  ** Es de la forma n^2*(n^2 - 1) / 2 (con n=8).

  ** Es una diferencia entre dos potencias de 2 : 2016 = 2^11 - 2^5 (y el 24, número que aparece al final, es 24 = 2^5 - 2^3)

  ** 2016^17 + 1 es divisible por el  número primo 2017 y sólo por otro primo más.

  ** 5 se puede escribir como suma de 8 cuadrados en 2016 formas diferentes. (Deben de ser 5 cuadrados de unos positivos o negativos y 3 cuadrados de ceros o bien un cuadrado de 2 y otro de 1, positivos o negativos y el resto de ceros. Esto es :  binomial(8,5)*2^5 + 8*7*2*2 = 56*32 +7*32 = 63*32 = 2016. Los 5 unos pueden ser de 0 , 1 , 2 , 3 , o bien  4 de ellos o bien todos ellos negativos o sea que hay binomial(5,0) + binomial(5,1) + ... + binomial(5,5) = 2^5 = 32 formas distintas posibles de agrupar cinco unos positivos o negativos. binomial(m,n) = m! / ((m-n)!*n!) es el número de combinaciones distintas de m elementos tomados de n en n, siendo n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1. binomial(8,5) = 8! / (5!*3!) = (8*7*6) / (3*2) = 56; hay 56 formas distintas de combinar 8 elementos tomados de 5 en 5, por ejemplo cinco unos todos positivos o bien todos negativos (iguales) y tres ceros. El segundo sumando 8*7*2*2 se debe a que el "2" puede ocupar 8 posiciones distintas, y le quedan 7 al "1",  por cada posición del "2"; o viceversa. Y hay dos formas de 2 : (+2 y -2) y dos formas de 1 : (+1 y -1).Sólo queda decir, para los (y las) que les guste la matemática, si no me he equivocado, que 5 se puede escribir como suma de 9 cuadrados de 4320 formas distintas, pero sólo de 840 formas diferentes como suma de 7 cuadrados, 312 de 6 y 112 de 5 cuadrados. 4 se escribe de 1136 formas como suma de 8 cuadrados; 3 de 448 y 2 de 112. Si no hay equivocación torpe e involuntaria por mi parte, hay más formas de escribir 6 como suma de 8 cuadrados (4480 formas), que 5 como suma de 9 cuadrados (4320 formas). Dejo al amable lector la tarea de encontrar el menor número n entero mayor que 6, si existe, tal que el número de formas de escribirlo como suma de m cuadrados, sea menor que el número de formas de representar n - 1 como suma de m + 1 cuadrados, con m = n + 2 o m = n + 3. No sé, soy un neófito, si se podrían hallar pautas de crecimiento o decrecimiento interesantes en tal terreno inestable.

  ** Es el área de un triangulo rectángulo Pitagórico (cuyos 3 lados son números enteros) de lados (32, 126, 130). La terna Pitagórica primitiva, generadora de infinitas más ternas de forma (k*a, k*b, k*c) (k = 2, 3, 4, ...), es (a, b, c) = (16, 63, 65). Comprobad que a^2 + b^2 = c^2. (24 es el área de un triángulo rectángulo Pitagórico de lados (6, 8, 10) cuya terna primitiva es (3, 4, 5); la única terna Pitagórica con los tres lados de longitudes enteras consecutivas).

  ** 2016 es de la forma n*sigma(n) siendo sigma(n) la suma de los divisores de n (n =  32)

  **  Es un múltiplo de 16 que contiene en su expresión en base decimal, al 16.

  ** Existe un cuadrado mágico de 8*8 formado de números primos consecutivos del 79 al 439 cuya suma mágica es 2016 (Notemos que la suma de estos 64 números primos consecutivos es justamente de 8 veces 2016).

  ** 2016 es de la forma (7^n - 7^0)*(7^n - 7^1)*...*(7^n - 7^(n-1)) (con n = 2  : (48*42)). El próximo será dentro de 33.782.112 años (para n = 3).

  ** 2016^2 es la suma de 4 números primos consecutivos (empezando por el primo 1016051) (y 24^2 es la suma de 4 primos consecutivos treminando en 151. Pero esto no es relevante).

  ** 2016 es el 792-ésimo número que es suma de números primos consecutivos de al menos una forma, siendo el primero : 5 = 2 + 3.  2016 es la suma de 18 números primos consecutivos, del 20-ésimo al 37-ésimo : 2016 = 71 + 73 + 79 +  ... + 149 + 151 + 157. El menor número par suma de números primos consecutivos de dos formas distintas es 36 = 5 + 7 + 11+ 13 = 17 + 19.

  ** 2016 es la diferencia común entre 3 cuadrados en progresión aritmética cuyo primer término es 47^2 (y el número 24 igualmente: 24 = 5^2 - 1^2 = 7^2 - 5^2) (42336, otro número Casiperfecto (ver al final de este texto), es también la distancia común entre los cuadrados de 42, 210 y 294).

  ** 2016 es el 24ésimo número n tal que su número de factores primos, aunque sean repetidos, menos su número de factores primos distintos, es igual a 5 (2016 = 2^5*3^2*7).




            La  preciosa costa vasca; querida; pero no por ello superior a las demás costas de España; ni                                                 separada de ellas; ni enfrentada a ellas.


  ** 2016 es una máxima distancia, superior a todas las anteriores, entre dos tripletes consecutivos de primos de la forma (p, p + 2, p + 6) (El primero empieza por p = 56891 y el siguiente por p = 58907). La otra forma posible de los tripletes de primos (3 primos lo más cercanos posibles entre sí) es (p, p+4, p+6). Se entiende que p + 4 no exista en la primera forma puesto que en el caso en que p fuera de la forma 3*k + 2; p + 4 sería de la forma 3*k + 6 = 3*(k + 2) es decir divisible por 3 y por tanto no número primo. Y para la segunda forma de los tripletes de primos si p fuera de la forma 3*k +1, entonces p+2 sería de la forma 3*k + 3 = 3*(k + 1); divisible por 3. Un ejemplo de primera forma de triplete es (5, 7, 11) o (11, 13, 17) o (17, 19, 23) y de segunda forma :  (7, 11, 13) o (13, 17, 19) o (37, 41, 43).

  ** 2016 es la suma de 7 cubos de números consecutivos (empezando por 3^3) y es el 27ésimo (27 = 3^3 = 1+2+3+4+5+6+6) número que es suma de al menos 2 cubos positivos consecutivos mayores que 1.Y es además la suma de los cubos de cuatro de sus divisores.

  ** La suma de 2016 y de sus dígitos es un cuadrado.

  ** 2016 tiene 5 lunes en el mes de febrero y ello no volverá a ocurrir hasta el 2044.

  ** Es el producto de la suma de divisores de 2 números consecutivos (31 y 32).

  ** Es 4 veces el producto de 3 números consecutivos y 6 veces el producto de estos 3 números reducidos cada uno en 1.

  ** Es la cuarta parte de la diferencia entre el quinto primo de Mersenne M(5) = 2^13 - 1 = 8191 y el cuarto M(4) = 2^7 - 1 = 127 (24 = (M(4) -M(3)) / 4  y (M(3) = 31)).

  ** 2016 es el menor número entero y, con x < y < z tal que sigma(x) = sigma(y) = sigma(z) = x+y+z (x = 1980, z=2556, siendo sigma(n) la suma de divisores del número entero n))

  ** Es el producto de los dígitos de 32^3 (y 32 es un divisor en potencias de 2, de 2016). (24 es el producto de los dígitos de 4^3 (y 4 es un divisor en potencias de 2, de 24); pero no creo que esta similutud sea algo más que una casualidad o una trivialidad).

  ** 2016 es el segundo número Casiperfecto; cuya suma de más de un 85 % (pero menos del 100 %) de sus divisores, excluyendo al propio número, ordenados de menor a mayor, empezando por los menores; sea el propio número. 2016 es la suma de sus primeros 31 divisores y 31 / 35 = 0,89. Los que vivieron en el año 24 tuvieron el honor de inaugurar los números positivos Casiperfectos (24 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 y 6 / 7 =0,857).

  ** En torno al día 18/01/2016, un comentario corto en una página web española de matemáticas,     me informa que el 2016 es un número 24-gonal.Como los dos primeros números Casiperfectos son el 24 y el 2016, decido investigar.

   Primero, la fórmula para el enésimo número r-gonal es P(n,r) = ((r-2)*n^2 - (r-4)*n) / 2.

 Resolviendo la ecuación de segundo grado en variable n, tenemos que (r-4)^2 +8*(r-2)*P(n,r) ha de ser un cuadrado. Escribo el siguiente programa en Pari gp, para hallar todos los números r-gonales entre r = 3 y r = 24 que lo sean para 3 valores distintos de r. Es el caso de 2016 para r = 3 , 6 y 24.
(63-ésimo número triangular; 32-ésimo número hexagonal; 14-ésimo número 24-gonal).

i=0;v=vector(10^3);for(r=3,24,for(m=2,2016,a=(r-4)^2+8*(r-2)*m;if(issquare(a,&b)&floor((r-4+b)/(2*(r-2)))==(r-4+b)/(2*(r-2)),i++;v[i]=m)));u=vecsort(v);w=vector(300);j=0;for(k=2,length(u)-2,if(u[k]>0&u[k]==u[k+1]&u[k]==u[k+2],j++;w[j]=u[k]));y=vecsort(w);l=0;x=vector(j);for(s=1,length(y),if(y[s]>0,l++;x[l]=y[s]));print(x,"  ",j," numeros")

Con el resultado siguiente:
[15, 21, 36, 45, 66, 225, 231, 276, 325, 540, 561, 946, 1225, 1540, 2016]  15 numeros

Los seis primeros números Casiperfectos son :

242016, 8190, 42336, 45864, 392448

8190 es el 39-ésimo número 13-gonal; el 20-ésimo número 45-gonal y el 3-ésimo (tercer) número 2731-gonal. No aparece el 2016.

42236 es el sexto número 2824-gonal y el tercer número 14113-gonal. No aparecen ningunos de los términos anteriores, de la sucesión.

45864 es el tercer número 15289-gonal

392448 es el 12-ésimo número 5948-gonal y el tercer número 130817-gonal.


Deducimos que el hecho de que 2016 sea un número 24-gonal es una simple casualidad que nada tiene que ver con los números Casiperfectos y otro bonito ejemplo de la ley de los números pequeños de Richard K. Guy.



Hay tan pocos números pequeños, en relación a los grandes, que se cuelan donde no debieran de estar, en muchos sitios, y engañan a veces durante un tiempo por suerte corto, al matemático-pensador de buena voluntad.


Por último : 2016 es también el sexto número 136-gonal y el tercer número 673-gonal; si no me he equivocado programando, es decir, como decía un conocido; si no he engañado involuntariamente al ordenador.



2016 = ((2 * 2^2)!) / (2^2^2 + 2^2)
2016 = (3! + 3)! / (3! * (3^3 + 3))
2016 = 5^5 - ((5^5) / 5) + (5 - (5 / 5)) * (5! + (5 / 5))
2016 = ((7^7) / (7*7) - (7 * 7 * 7 + 7 * 7 * 7 - 7)) / (7 + (7 / 7))
2016 = (11! * (11 - 11/11 - 11/11 -11/11)) / (11 * (11 * 11 - 11/11) * (11 * 11 - 11/11) )





 ** 2016 es el 16-ésimo número n mayor que 1, tal que eulerphi(sigma(....eulerphi(sigma(n) = n  para cadenas de eulerphis y sigmas alternos de longitud 4*k (k = 1,2,3...), empezando por sigma y terminando por eulerphi. (sigma(2016) = 6552; eulerphi(6552) = 1728 = 12^3; sigma(1728) = 5080;    eulerphi(5080) = 2016).
  


Nota: No creemos en los números más que en las palabras, aunque sí en la relación cambiante y dinámica y fresca y no ideológica (no marxista, ni de izquierda; como ejemplo muy importante; ni de Oeste ni Este) sin estratificaciones ni posicionamientos "geográficos" irremediables que conducen a dictaduras de una minoría  y no dogmática; entre los números por una parte y entre las palabras por otra y si se puede, cuando se puede, entre los números y las palabras juntos, procurando no creer de manera absoluta, nunca,  ni en un número sin contexto adecuado ni en una palabra que pretenda falsamente imponerse generando una idea falsa.