viernes, 2 de octubre de 2015

El método de D´Hondt explicado a los torpes y a Mas (1)



           (1) Pobre Cataluña tan lejos de Dios y tan desorientada por su presidente Mas;



                                                                            Fractal




  Imaginemos que tenemos 5 partidos A, B, C, D y E que han obtenido en unas elecciones respectivamente 15, 14, 13, 12, y 11 votos y que son 7 los escaños a repartir. No hay manera matemática alguna de que el reparto  sea mejor que : (A; B; C; D; E) = (2; 2; 1; 1; 1) escaños. A pesar de que es injusto de que por un solo voto de diferencia, el partido B tenga el doble de diputados o concejales municipales que el partido C y que los partidos A y B, con sólo 29 votos entre los dos, tengan más escaños juntos que C, D y E juntos, con 36 votos entre los tres. Se puede multiplicar el número de votos de cada partido por la cantidad k que uno quiera y la injusticia en el reparto permanecerá con la salvedad de que : B tendrá el doble de diputados o concejales municipales que el partido C, con k votos de diferencia y que los partidos A y B, con sólo 29k votos entre los dos, tendrán más escaños juntos que C, D y E juntos con 36k votos entre los tres. Hay que notar que algunos métodos matemáticos de reparto de escaños (incluido el de D´Hondt) aún podrían empeorar la situación dando un resultado de : (A; B; C; D; E) = (3; 1; 1; 1; 1); pero no podrían en ningún caso mejorar la asignación : (A; B; C; D; E) = (2; 2; 1; 1; 1).

   Imaginemos ahora que algún excéntrico -alguien que no vive en el centro; y hay muchos en cualquier país del mundo- convoca un plebiscito engañoso; disfrazado; inelegante, sobre una supuesta separación del Noreste de España; de España.

  Y que obtiene el 39, 54 % de los votos pero 62 escaños de 135 posibles es decir 45, 93 % diputados autonómicos, es decir una prima de más de 6 puntos en diputados  16 % más diputados de lo que debiera). Si hubiera habido una sola circunscripción para toda Cataluña; Mas, en rigor no debiera de haber obtenido más de  135 * 0,3954 = 53 o como mucho 54 escaños.

Hay una manera de que el resultado sea más justo; que vamos a ilustrar con este ejemplo :







                                                     Árbol multicentenario en Picos de Europa




  Sean los votos de los cinco partidos de este ejemplo (A; B; C; D; E) = (100; 85; 49; 22; 6) y sean 7 los escaños por cubrir. El total de votos es 262. Los porcentajes de votos sobre este total son de (A; B; C; D; E) = (38,2; 32,4; 18,7; 8,4; 2,3) y el número de escaños para cada partido de  entre los 7 : (A; B; C; D; E) = (2,7; 2,3; 1,3; 0,6; 0,2).

  Método estrictamente proporcional 1 : Asignamos a cada partido la parte entera de los escaños que han obtenido --->
(A; B; C; D; E) = (2; 2, 1; 0; 0) y los escaños por repartir que queden se asignan a las mayores partes decimales ---> (A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 1; 0).

  Método menos estrictamente proporcional 2 :  Asignamos a cada partido la parte entera de los escaños que han obtenido --->
(A; B; C; D; E) = (2; 2, 1; 0; 0). Se añade uno a la parte entera obtenida por cada partido y esta se multiplica por la parte decimal. Así, A obtiene (2+1)* 0,7 = 2,1 y D obtiene (0+1)*0,6 = 0,6. Los escaños que quedan por repartir se asignan a los mayores resultados : (A; B; C; D; E) = (2,1; 0,9; 0,6; 0,6; 0,2). En caso de empate, se toman más decimales decisivos. Los dos escaños que quedaban por repartir van a A y a B. Tendremos finalmente (A; B; C; D; E) = (3; 3, 1; 0; 0).





                                                 Acantilados verticales del Ogoño, en Vizcaya




   Método de D´Hondt

  No tiene mayor fundamento matemático que los dos métodos anteriores. El método general consiste en dividir los votos obtenidos por cada partido, por a*k+ 1  para los valores sucesivos de k = 0, 1, 2, 3... y eligendo los mayores resultados hasta cubrir el número de escaños en juego. En rigor, hay un número grande de valores de a posibles y luego un número grande de métodos distintos de este estilo.              D´Hondt eligió arbitrariamente el valor de a = 1. Y eso es lo que engañó a Mas, que intentó a su vez engañarnos a los Españoles.

  En torno al 40 % de los votos y si las circunscripciones son todas relativamente pequeñas, la prima en escaños puede ser de hasta 10 puntos, como en el caso del psoe de las elecciones de 1982, que con un 48, 11 % de los votos obtuvo 202  / 350 = 57, 71 % de los diputados.

  Los partidos con más del 20 % de los votos resultan muy beneficiados por el método D´Hondt.

  Los partidos que obtienen entre el 15 % y el 20 % reciben en general, dependiendo también algo de la configuración de las circunscripciones electorales; el mismo porcentaje de escaños.    No se ven perjudicados ni tampoco favorecidos.

  Los partidos con menos del 15 % de los votos se ven a veces muy desfavorecidos, sobre todo en circunscipciones pequeñas. Es el caso de la UCD en las elecciones de 1982, que con un 6, 77 % de los votos obtuvo sólo 11 / 350 = 3, 14 % de los diputados; menos de la mitad de los que había ganado.


  Afortunadamente existe el método de Sainte Lague, que consiste, al dividir por a*k + 1 para los valores sucesivos de k = 0, 1, 2, 3... y eligendo los mayores resultados hasta cubrir el número de escaños en juego; en elegir el valor de a = 2 en vez del valor de a = 1, como en el caso de D´Hondt.





                                                         
                                                               




  Ilustremos el caso anterior de los votos  para (A; B; C; D; E) = (100; 85; 49; 22; 6)

  a) D´Hondt

  Dividimos por a*k+ 1  para sucesivamente k = 0,1,2,... y a = 1 ; es decir dividimos por
k +1 , es decir por 1, 2, 3, ..

División por 1 :  (A; B; C; D; E) = (100; 85; 49; 22; 6)
División por 2:   (A; B; C; D; E) = (50; 42,5; 24,5; -; -)
División por 3:   (A; B; C; D; E) = (33,3; 28,3; 16,3; -; -)
División por 4:   (A; B; C; D; E) = (25; -; -; -; -)

  Los 7 cocientes mayores están subrayados y marcan el reparto de escaños:
(A; B; C; D; E) = (3; 3, 1; 0; 0).



  b) Sainte Lague

  Dividimos por a*k+ 1  para sucesivamente k = 0,1,2,... y a = 2 ; es decir dividimos por
2*k +1 , es decir por 1, 3, 5, ..

División por 1 :  (A; B; C; D; E) = (1008549; 22; 6)
División por 3:   (A; B; C; D; E) = (33,328,3; 16,3; -; -)
División por 5:   (A; B; C; D; E) = (20; 17; -; -; -)
División por 7:   (A; B; C; D; E) = (14,3; -; -; -; -)

  Los 7 cocientes mayores están subrayados y marcan el reparto de escaños:
(A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 1; 0).





                                                                   Ría de Urdaibai




  c) Método a = 4 (El método a = 3 da el mismo resultado)

  Dividimos por a*k+ 1  para sucesivamente k = 0,1,2,... y a = 4 ; es decir dividimos por
4*k +1 , es decir por 1, 5, 9, ..

División por 1 :  (A; B; C; D; E) = (100854922; 6)
División por 5:   (A; B; C; D; E) = (2017; 9,8; -; -)
División por 9:   (A; B; C; D; E) = (11,1; 9,4; -; -; -)

  Los 7 cocientes mayores están subrayados y marcan el reparto de escaños:
(A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 1; 0).

  Busquemos cual es el valor crítico de a para que el reparto cambie cuando el tercer escaño de A pase a ser de B, es decir cuando 100 / (a*k +1) para k = 2 < 85 / (a*k +1) para k = 1 es decir 100 / (2*a +1) < 85 /  (a +1) es decir a > 15 / 70 y puesto que a debe de ser un número entero, equivale a > 0; es decir que la condición se cumple siempre aunque a tienda a infinito,  salvo por la condición 6 < 100 / (2*a +1) ---> a < 8



  d) Comprobamos que el resultado es el mismo para el método a = 7

  Dividimos por a*k+ 1  para sucesivamente k = 0,1,2,... y a = 7 ; es decir dividimos por
7*k +1 , es decir por 1, 8, 15, ..

División por 1 :  (A; B; C; D; E) = (100854922; 6)
División por 8:   (A; B; C; D; E) = (12,510,6; 6,1; -; -)
División por 15:   (A; B; C; D; E) = (6,7; 5,7; -; -; -)

  Los 7 cocientes mayores están subrayados y marcan el reparto de escaños:
(A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 1; 0).

  Para  a = 8 obtenemos (A; B; C; D; E) = (2; 2, 1; 1; 1). Hemos comprobado que entre a = 2, para este caso, y a = 7 obtenemos el mismo resultado reparto de escaños.





                                                          Los montes del norte de Burgos




  e) Generalicemos aún más : Dividimos por a*k + b  para sucesivamente k = 0, 1, 2, 3... y a y b valores enteros. Por ejemplo a = 3 y b = 2. Hay muchas combinaciones posibles. Hemos de dividir, en este caso, por sucesivamente: 2, 5, 8, 11,...

División por 2 :  (A; B; C; D; E) = (5042,5; 24,5; 11; 3)
División por 5 :  (A; B; C; D; E) = (2017; 9,8; -; -)
División por 8 :  (A; B; C; D; E) = (12,5; 10,6; 6,1; -; -)
División por 11 : (A; B; C; D; E) = (9,1; -; -; -; -; -)

  Obtenemos  (A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 1; 0); exactamente el mismo resulatado que para a = {2, 3, 4, 5, 6, 7} y b = 1.


  f) Pero na han de ser forzosamente a y b valores enteros : Dividimos por a*k + b  para sucesivamente k = 0, 1, 2, 3... y a y b valores reales. Por ejemplo a = pi = 3,141... y b = e = 2,718.. Hay muchas combinaciones posibles.
Hemos de dividir, en este caso, por sucesivamente:  e, pi + e, 2*pi + e, 3*pi + e, ...

División por e :             (A; B; C; D; E) = (36,8; 31,3; 18,0; 8,1; 2.2)
División por pi + e :      (A; B; C; D; E) = (17,1; 14,5; 8,4; -; -; )
División por 2*pi + e :  (A; B; C; D; E) = (11,1; 9,4; 5,4; -; -)
División por 3*pi + e :  (A; B; C; D; E) = (8,2; -; -; -; -)

  Obtenemos  (A; B; C; D; E) = (3; 3, 1; 0; 0). El  reparto es distinto porque estamos en la zona crítica de valores de a y b, para los que existe un cambio en la asignación de los escaños; no porque los valores de a y b no sean enteros. Dejo al amable lector, como ejercicio, el comprobar que con a = pi y b = e / 2 , obtenemos  de nuevo (A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 1; 0).






                                             Flora común primaveral de la provincia de Burgos




 Concluimos que el método a = 2; b = 1 de Sainte Lague es más justo y estrictamente proporcional que el método  a = 1; b =1  de D´Hondt, pero menos que el método estrictamente proporcional 1 con el que Mas y JxS hubieran obtenido sólo 57 escaños por el método estrictamente proporcional y 58 por el método 2.

  De todos modos Mas -y ciertamente no Cataluña con quien se identifican inadmisiblemente- perdió el plebiscito velado que él mismo eligió; como lo perdieron también los Quebequeses en Canadá. Notemos también de paso que los Quebequeses hablan francés y defienden la cultura y la nación francesa, a la que se sienten adheridos cultural y afectivamente. No querrán nunca que ningún excéntrico parta a España y después a Francia y después a Italia en pedazos.


  Notemos además que con el método estrictamente proporcional 1, el partido unio.cat hubiera obtenido 3 escaños, 2 en Barcelona  y 1 en Lérida y que si no fuera por la provincia de Barcelona que es una circunscripción muy grande, con 85 escaños; que corrigen a D´Hondt; Mas -y no Cataluña- hubiera obtenido una prima aún más grande en diputados. Me hubiera gustado, de haber vivido allí, haber votado a un partido centrado y centrista como es unio.cat ; que son de los partidos indispensables a la hora de equilibrar y de impulsar a la vez a las naciones; aunque Mas -y ciertamente no Cataluña- nos esté forzando a radicalizar y extremar nuestras posiciones. Sueño con un PNV que se libre de una vez, muy francamente, de la tiranía loca de Sabino Arana y progresemos y avancemos y centremos y seamos juntos. Una nación no la hace ni la costumbre ni tampoco la lengua, que son, pero no son determinantes; sino el equilibrio, el compromiso y la voluntad. La nación somos nosotros y es España. La mayoría catalana está; lo hemos visto; con España.




                                                           
                         Amboto  y  Alluitz , al fondo, desde el monte Aldamin; del macizo del Gorbeia




  Anexo 1:

  1) Resultados en diputados por cada partido de las elecciones catalanas del 2015 por cada circunscripción por el Método estrictamente proporcional 1 :

Barcelona : 

JxSí = 31; C´s = 16; PSC = 12; CatSP = 9; PP = 7; CUP = 7; unio.cat = 2; Pacma = 1

Gerona :

JxSí = 10; C´s = 2; PSC = 2; CatSP = 1; PP = 1; CUP = 1; unio.cat = 0; Pacma = 0

Lérida :

JxSí = 8; C´s = 2; PSC = 1; CatSP = 1; PP = 1; CUP = 1; unio.cat = 1; Pacma = 0

Tarragona :

JxSí = 8; C´s = 4; PSC = 2; CatSP = 1; PP = 2; CUP = 1; unio.cat = 0; Pacma = 0





                                                           Bajando del bello monte Unchillaitz




  2) Resultados en diputados por cada partido de las elecciones catalanas del 2015 por cada circunscripción por el Método menos estrictamente proporcional 2 :

Barcelona : 

JxSí = 31; C´s = 16; PSC = 12; CatSP = 9; PP = 8; CUP = 7; unio.cat = 2; Pacma = 0

Gerona :

JxSí = 10; C´s = 2; PSC = 2; CatSP = 0; PP = 1; CUP = 2; unio.cat = 0; Pacma = 0

Lérida :

JxSí = 9; C´s = 2; PSC = 1; CatSP = 1; PP = 1; CUP = 1; unio.cat = 0; Pacma = 0

Tarragona :

JxSí = 8; C´s = 4; PSC = 2; CatSP = 1; PP = 2; CUP = 1; unio.cat = 0; Pacma = 0






                                               La costa oriental de Cantabria y su flysch rocoso





Anexo 2 :

Cuando la Cámara de Representantes (House of Representatives) de Estados Unidos, que utilizaba un método muy similar al   Método estrictamente proporcional 1,  explicado anteriormente, para asignar el número de escaños que representaran a cada Estado según su población; quiso aumentar el número de representantes de la Cámara, de 299 a 300; se descubrió que Alabama que tenía 8 representantes, se quedaba entonces con un representante menos, con sólo 7 (2). Esta paradoja se debe a que en un reparto matemático, los resultados de cualquier parte, dependen siempre de las demás  partes y es, a mi entender, menos grave que el hecho de que un partido, a nivel nacional, que haya obtenido alrededor del 10 % de los votos o menos, con un sistema de reparto que dice ser proporcional, como el de  D´Hondt; obtenga en cambio en torno a sólo el 5 % de los escaños en juego o menos.  Otra cosa es que exista una voluntad de consenso como en el caso francés en que las circunscripciones electorales son lo más pequeñas posibles, eligen a un solo escaño y por tanto un partido o una colición que haya obtenido el 49, 9 % de los votos, en esa circunscripción, si sólo hay dos coaliciones en juego, no obtendrá, muy injustamente, ningún representante. Sin embargo ese sistema electoral favorece, relativamente, el consenso  entre partidos que tienden a agruparse en coaliciones y a pactar. Pero lo malo de ese sistema electoral con circunscripciones unipersonales es que marca una dicotomía *falsa* entre partidos de ¿izquierda? y de ¿derecha?; ideologiza falsamente en dos bloques más arbitrarios que reales, la gestión nacional.

(2) : La fuente es de Wikipedia en Inglés.

Ilustración de la paradoja :

Sean los votos de  los 5 partidos (A; B; C; D; E) = (100; 85; 52; 19; 6).  El total de votos es 262. Los escaños a cubrir son 7. Los porcentajes de votos sobre este total son de                                                     (A; B; C; D; E) = (38,17; 32,44; 19,85; 7,25; 2,29)  y el número de escaños para cada partido de  entre los 7 :
 (A; B; C; D; E) = (2,672; 2,271; 1,389; 0,508; 0,160).

Asignamos a cada partido la parte entera de los escaños que han obtenido --->
(A; B; C; D; E) = (2; 2, 1; 0; 0) y los 2 escaños por repartir que quedan se asignan a las mayores partes decimales ---> (A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 1; 0).

Pero si los escaños a cubrir son 8, el número de escaños para cada partido de  entre los 8, es :              (A; B; C; D; E) = (3,053; 2,595; 1,588; 0,580; 0,183).

La parte entera es --->
(A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 0; 0) y los 2 escaños por repartir que quedan se asignan a las mayores partes decimales ---> (A; B; C; D; E) = (3; 3, 2; 0; 0).

El partido D pierde su escaño en favor de C o de B, a pesar de que el número de escaños en juego ha aumentado en uno. La paradoja no es tanta si se piensa que C tenía casi el triple de votos que D y B más de 4 veces los votos de D y que un reparto totalmente exacto en todo momento es obviamente imposible; cuanto más inexacto el reparto cuanto menor sea el número de escaños en juego.