sábado, 28 de enero de 2017

Algunos sistemas de numeración no tan habituales.






                Sistema de numeración binario, sin el cero, utilizando los dígitos 1 y 2,
 tal que cualquier número n de a dígitos, que se escribe n = d(a-1)....d2d1d0; tiene el valor n = Suma((i=0,i=a-1); di*b^i), siendo b el número de dígitos distintos utilizados.



1, 2, 11, 12, 21, 22, 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222, 1111, 1112, 1121, 1122, 1211, 1212,

1221, 1222, 2111, 2112, 2121, 2122, 2211, 2212, 2221, 2222, 11111, ...


               Sistema de numeración de base 3, sin el cero, utilizando los dígitos 1, 2 y 3,  tal que cualquier número n de a dígitos, que se escribe n = d(a-1)....d2d1d0; tiene el valor n = Suma((i=0,i=a-1); di*b^i), siendo b el número de dígitos distintos utilizados.


1, 2, 3, 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33, 111, 112, 113, 121, 122, 123, 131, 132, 133, 211, 212, 213,

221, 222, 223, 231, 232, 233, 311, 312, 313, 321, 322, 323, 331, 332, 333, 1111, ...


             
                Sistema de numeración de base 4, sin el cero, utilizando los dígitos 1, 2, 3, 4,  tal que cualquier número n de a dígitos, que se escribe n = d(a-1)....d2d1d0; tiene el valor n = Suma((i=0,i=a-1); di*b^i), siendo b el número de dígitos distintos utilizados. 

           
1, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44, 111, 112, 113, 114, 121, 122,

123, 124, 131, 132, 133, 134, 141, 142, 143, 144, 211, ...


Cualquier base se puede escribir sin el cero, pero utilizando un dígito suplementario. La base es el número de dígitos distintos. 



                 Sistema de numeración de base 10, sin el cero, utilizando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,   8, 9, x (x = 10), tal que cualquier número n de a dígitos, que se escribe n = d(a-1)....d2d1d0; tiene el valor n = Suma((i=0,i=a-1); di*b^i), siendo b el número de dígitos distintos utilizados.



1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, x, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1x, 21, ... , 29, 2x, 31, ... , 39, 3x, 41, ... ,

99, 9x, x1, ... , x9, xx, 111, ... , 119, 11x, 121, ... , 129, 12x, 131, ... , 199, 19x, 1x1, ... , 1xx, 211, ... ,

21x, 221, ... , 29x, 2x1, ... , 2xx, 311, ... , 99x, 9x1, ... , 9xx, x11, ... , x1x, x21, ... , x99, x9x, xx1, ... ,

xxx, 1111, ... , 111x, 1121, ... , 119x, 11x1, ... 999x, ...


       



 Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 2 (utiliza dos dígitos distintos: 1, 2), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 2, 12, 112, 21, 22, 122, 1122, 11122, 211, 212, 1212, 221, 222, 1222, 11222, 111222, 1111222,

2111, 2112, 12112, 2121, 2122, 12122, 112122, 2211, 2212, 12212, 112212, 2222, 11111, ...





  Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 2 (utiliza dos dígitos distintos: 1, 3), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 11, 3, 13, 113, 1113, 11113, 111113, 1111113, 31, 131, 33, 133, 1133, 11133, 111133, 1111133, 

11111133, 111111133, 1111111133, 11111111133. 111111111133, 1111111111133, 11111111111133, 

111111111111133, 1111111111111133, 11111111111111133, 111111111111111133, 311, 1311, 313, 

1313, ...

En este caso, cuando el número de unos consecutivos, a la izquierda de otro número o conjunto de números distintos, sea muy largo, se puede sustituir por su expresión más corta, en esta misma base, seguido de un guión. Como ejemplo 111111111133 = 22 (en base 10 usual) -->  31-33.


  Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 3 (utiliza tres dígitos distintos : 1, 2, 3), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 2, 3, 13, 21, 22, 23, 123, 1123, 31, 32, 33, 133, 222, 223, 1223, 11223, 231, 232, 233, 1233, 2121, 

2122, 2123, 12123, 2211, 2131, 2132, 311, 312, 313, 321, 322, 323, 1323, 2233, 331, 332, 333, 1333,

11333, 21131, 111333, 21211, 21131, 2311, 2312, 2313, 2321, 2322, 2323, 12323, 22112, 22113, 

22121, 2333, 22123, 122123, 22211, 22131, 22132, 22133, 21311, 21312, 21313, 21321, 21322, 

21323, 22233, 211111, ...


 Representación con mínimos (en su valor mínimo decimal usual), de un sistema de numeración ternario, que utiliza los números 0, 1 , 2  tal que cualquier número n de a dígitos, que se escribe n = da....d3d2d1; tiene el valor n = Suma((i=1,i=a); di^i ).


1, 2, 12, 20, 21, 22, 122, 200, 201, 211, 212, 220, 221, 222, 1222, 2000, 2001, 2002, 2012, 2020,

2021, 2022, 2122, 2200, 2201, 2202, 2212, 2220, 2221, 2222, 12222, 20000, 20001, 20002, 20012,

20020, 20021, 20022, 20122, 20200, ...



  Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 3 (utiliza tres dígitos distintos : 1, 2, 4), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 2, 111, 4, 21, 22, 122, 1122, 11122, 211, 212, 1212, 214, 222, 1222, 224, 41, 42, 142, 44, 144,

2114, 2122, 12122, 241, 242, 2212, 244, 2221, 2222, 12222, 2224, 12224, 112224, 1112224,

21111, 21112, 121112, 21121, 21122, 2241, 2242, 12242, 2244, 12244, 21221, 21222, 121222,

21224, 121224, 22111, 22112, 122112, 22114, 22122, 122122, 22124, 22212, 122212, 22214, 22222,

122222, 22224, 122224, 411, 412, 1412, 414, 1414, 11414, 111414, 22244, 122244, 1122244,

211214, 211222, ...



 Obviamente, no pretendo que estos sistemas de numeración tengan utilidad alguna, son meras curiosidades aritmético-matemáticas. A lo sumo válidas y útiles para encriptación parcial deficiente; pero nunca se sabe qué nueva herramienta matemática un día los podría utilizar.





 Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 3 (utiliza tres dígitos distintos : 1, 2, 9), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 2, 12, 112, 21, 22, 122, 1122, 9, 19, 119, 1119, 29, 129, 1129, 11129, 111129, 219,

1219, 2112, 229, 1229, 2122, 12122, 112122, 2211, 2119, 12119, 2221, 2129, 12129,

112129, 1112129, 2219, 12219, 21111, 2229, 12229, 21121, 21122, 121122, 1121122,

21211, 21119, ...



Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 3 (utiliza tres dígitos distintos : 1, 2, b (b = 11)), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 2, 12, 112, 21, 22, 122, 1122, 11122, 211, b, 1b, 11b, 222, 2b, 12b, 112b, 1112b, 2111, 21b, 121b,

2121, 22b, 122b, 1122b, 2211, 2212, 12212, 211b, 2222, 12222, 212b,...




Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 4 (utiliza cuatro dígitos distintos : 1, 2, 3, 5), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 2, 3, 1111, 5, 15, 23, 123, 25, 31, 32, 33, 133, 35, 135, 1135, 225, 231, 232, 233, 1233, 235, 2122,

2123, 12123, 51, 52, 53, 153, 55, 155, 321, 315, 251, 252, 253, 331, 332, 333, 1333, 335, 1335, 

11335, 21131, 21132, 21133,  21222, 21223, 121223, 1121223, 21231, 21232, 351, 352, 353, 1353,

355, 1355, 22131, 22132, 22133, 21311, 21312, 21313, 121313, 21315, 21251, 21252, 21253, ...




Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 4 (utiliza cuatro dígitos distintos : -2, 1, 3, 4), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 11, 3, 4, 14, 114, (-2)3, (-2)4, 1(-2)4, 31, 131, 33, 34, 4(-2), 14(-2), 114(-2), 41, 141, 1141, (-2)

(-2)33, (-2)(-2)34, (-2)(-2)4(-2), 1(-2)(-2)4(-2), (-2)(-2)334, (-2)(-2)41, 31(-2), (-2)(-2)43, (-2)(-2)44, 

311, 1311, 313, 314, 1314, 3(-2)3, 3(-2)4, 13(-2)4, 331, 1331, 333, 334, 34(-2), (-2)31(-2), 

1(-2)31(-2), 341, (-2)311, 343, 344, 1344, 11344, (-2)33(-2), 1(-2)33(-2), (-2)(-2)413, (-2)331, 

1(-2)331, (-2)333, (-2)334,  





 Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 8 (utiliza ocho dígitos distintos : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 24, 9, 26, 27, 33, 29, 35, 36, 37, 41, 39, 43, 44, 45, 46, 47, 237, 49, 51, 52, 53, 54, 

55, 56, 57, 249, 59, 252, 253, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 341, 69, 343, 344, 345, 346, 71, 72, 73, 74, 

75, 76, 77, 355, 79, 273, 274, 275, 276, 277, 362, 279, 364, 365, 366, 367, 423, 369, 425, 426, 427, 

1427, 371, 372, 373, 375, 91, ...



Puede haber uno o varios pequeños errores de inatención en alguna de estas sucesiones. En particular, algunos de los términos pueden no ser mínimos, cuando ello es requerido. En el caso del sistema de numeración de base 4 que utiliza los dígitos -2, 1, 3, 4 se necesita convenir si un término con el mismo número de dígitos es menor cuando empieza por -2 o bien por 1.


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