sábado, 21 de abril de 2012

Geometría al alcance de todos



Sea este bello problema planteado por Ana, profesora de matemáticas, desde Salamanca:

Consideremos el hexágono grande  de la figura y 6 triángulos de ángulo más pequeño 30 º, cada uno, formando un hexágono más pequeño, como apreciar se puede. Se pide decir cual es la razón  Ag / Ap entre las áreas de los dos hexágonos grande y pequeño.


Solución :


Sean L y l los lados del hexágono grande y del pequeño. Vemos por trigonometría simple que
l = L/cos 30 -L tg 30 = L (1-sen 30)/cos 30 = L/ 2 cos 30. 
Notemos que la diagonal d de los triángulos rectángulos, mide L /cos 30 por lo que d = 2l.
El área de un hexágono es proporcional al de los triángulos equiláteros que van de su centro a cada uno de sus lados y el de estos al cuadrado de su lado. En palabras menos gruesas Ag/Ap = L^2/l^2 = (L/l)^2 = (2 cos 30)^2 = 4 (cos 30)^2 = 4 3/4 = 3.


Sea ahora otra cuestión. ¿ Qué angulo, desde uno de los vértices del hexágono grande, han de tener estos triángulos para formar hexágonos pequeños de áreas  Ap tales que  Ag/Ap = k ; para cualquier k entero determinado ?




 Los triángulos tienen lados : L = lado del hexágono, d el más largo y b y ángulos : alfa, beta y gama.

El ángulo beta; que en el caso anterior era de 90º, cuando alfa era dado y era 30 º, es ahora de (120 -alfa) grados. Y el ángulo gama es de 180-(120-alfa+alfa)  =  60º. Por el teorema del coseno: L^2 = b^2+d^2-2bd cos 60  =  b^2+d^2-bd  (1). El lado del hexágono pequeño es l=d-b y debemos de tener L^2 / l^2  = k      ---> (b^2+d^2-bd) / (d-b)^2 = k ---> L^2 = kbd / (k-1)  (2)
--->si k = 2 L^2 = 2bd, si k = 3 L^2 = 3bd/2, si k = 5 L^2 = 5bd/4,...

Tanbién por el teorema del coseno, tenemos que b^2 = d^2+L^2-2dL cos (alfa), que combinado con la ecuación (1) nos da: 2d-b-2L cos (alfa) = 0 (3)
Tenemos de (2) y de l = d-b que L^2 / l^2 = kbd / (k-1)(d-b)^2 = k -->bd = (k-1)(d-b)^2. Desarrollando y haciendo d=tb obtenemos una ecuación del segundo grado en t, cuya solución es
 t = ((2k-1) / (k-1)+ raíz (((2k-1) / (k-1))^2 - 4)) / 2  y cos alfa = (2t-1) / 2 raíz (kt / k-1) con estos resultados concretos:

k=2  t= (3+raíz(5))/2 = 2,618034 alfa= arco coseno((2+raíz(5))/2(raíz(3+raíz(5)) = 22,239º
k=3  t=2   alfa = arco coseno(raíz(3)/2) = 30º              
k=4  t= (7/3+raíz(13/9))/2 = 1,767592 alfa = arco coseno(0,825694) = 34,34º
k=5  t=(9/4+raíz(17/16))/2 = 1,640388 alfa = 37,21º


Hay que notar que t=f(k) es una función decreciente que tiende a 1 cuando k tiende a infinito; por lo que t=2 es su únco valor entero; que coincide bellamente además con un valor entero del ángulo y divisor de 360º.




El polígono no tiene porqué limitarse a ser un hexágono. Puede ser cualquier polígono regular de cualquier número de lados.


Generalización  a polígonos regulares de n lados:

Partiendo de que gama = 360/n, que d = b+l, que L = raíz(k)l, que por el teorema del coseno
L^2 = b^2+d^2-2bd cos(gama) y de que por el teorema del seno
b / sen(alfa) = L / sen(gama)

obtenemos que:

sen(alfa) = (sen(gama)(-1+raíz(1+(2k-2)/(1-cos(gama))))/2raíz(k)

 Para el hexágono (n=6) (gama = 60º)   :
sen(alfa) = (raíz(3)(-1+raíz(4k-3)))/4raíz(k)
Para k=3  obtenemos sen(alfa) = 1/2    alfa = 30º

Para el octógono (gama = 45º) y k=2, obtenemos alfa = 26,71º

Para el 40-ágono (gama = 9º) y k=2  alfa = 40,68 º

Para el cuadrado (gama = 90º) y k=2   sen(alfa) =  (raíz(3)-1)/2raíz(2) alfa = 15º

La función alfa = f(n) es creciente.



¿ Existe algún otro valor de n y de k enteros tal que alfa sea entero en grados, como en el caso de n=6 y k=3 (alfa=30º) y n=4 y k=2 (alfa=15º) ?



 Sea este pequeño script en Pari gp (1), que busca hasta k=1000 y hasta polígonos de n=1000 lados, los valores de alfa que disten de un número entero menos de 5 millonésimas de grado:


for(k=2,1000,for(n=3,1000,x=(180/Pi)*asin(sin(2*Pi/n)*(-1+(1+(2*k-2)/(1-cos(2*Pi/n)))^(1/2))/(2*k^(1/2)));if(abs(round(x)-x)<5*10^-6,print([k,n,x]))))

[2, 4, 15.00000000000000000000000000]
[3, 6, 30.00000000000000000000000000]
[72, 776, 82.99999559202038090962123319]
[91, 183, 82.99999851285136714870408115]
[180, 248, 84.99999773585175588156410845]
[243, 559, 86.00000300071382107611997311]
[245, 534, 85.99999702828698338931899305]
[338, 204, 85.99999881865528214362237842]
[420, 886, 86.99999894086505343585436203]
[855, 173, 87.00000435783125338850815154]
time = 48,9 s.

Obtenemos sólo 10 resultados  con tal acercamiento a un valor entero, de un total de aproximadamente 10^6 , es decir  que sólo 1/10^5 (uno de cada 100.000) casos, se aproxima a menos de 5 millonésimas de grado de un ángulo entero.



Algunos resultados con valores bajos de (k,n), para ángulos a menos de una milésima de grado de un número entero :
(k,n)            alfa

(247,7)     60,9993º
(239,5)     51,0003º
(229,8)     63,9998º
(107,24)   76,99995º
(78,21)     75,00008º
(30,10)     62,0006º
(24,147)   77,000006º
(21,33)     71,9991º
(25,40)     73,9991º
(19,31)     71,0002º
(13,200)   72,99993º
(12,34)     68,0009º
(9,27)       63,9990º o (3^2,3^3)  casi 2^6º 
(6,198)     64,9993º
(4,179)     58,9995º


 Una búsqueda más exhaustiva, indicaría que no existe ningún otro valor del ángulo alfa que sea un número entero en grados. Aunque debido a que 360 º es una cantidad arbitraria (con muchos divisores, pero arbitraria puesto que podría ser de 360s siendo s el número entero que queramos, debieramos haber buscado números enteros t que dividen 360s; es decir números racionales s/t=alfa )

Sin limitarse a sólo los divisores de 360s; una computación hasta s=200 (un círculo de 360*200= 72000º), k=1000 y n=1000,  buscando ángulos cercanos a un número entero con precisión superior a la cien millonésima de grado (10^-8) , nos da sólo dos resultados :

[s,k,n,alfa]


[16, 603, 509, 1396.999999994727916629472282]

Círculo de 360*16 = 5760º    alfa cercano a 1397 / 16 = 87,3125º , ángulo preciso para que un polígono de 509 lados sea reducido exactamente en 603 veces su área.

[23, 928, 474, 2018.000000002830612038701593]

Círculo de 360*23 = 8280º    alfa cercano a  2018 / 23 = 87,7391304347826086956521º, ángulo preciso para que un polígono de 474 lados sea reducido exactamente en  928 veces su área.

Confieso que no entiendo bien, soy un amateur, porqué las grandes precisiones se hallan siempre en ángulos muy altos, de 85 grados o más . Pienso que es una mera cuestión de probabilidad, que hay más probabilidad de  mucho acercamiento a un ángulo entero para k y n altos y estos se encuentran en los rangos de ángulo cercanos al límite de 90º.




(1): Pari gp lo elabora graciosamente la Universidad francesa de Burdeos; está al alcance de cualquiera que quiera realizar cálculos de casi cualquier tipo, por ordenador, se descarga en un minuto de su página web y es gratuito y fácil de utilizar aún no siendo un especialista , como yo. Y es muy rápido en los cálculos.