sábado, 14 de abril de 2012

Un problemita trivial

Tengo el doble de años que el número primo inferior de una pareja de primos gemelos. Una antigua alumna mía tiene también el doble de años que el número primo inferior de una pareja de primos gemelos. Quitándole x años a esa mitad de ambas edades, obtenemos en ambos casos un primo gemelo inferior, aunque el número primo gemelo inferior mío;  resultado de menos x años de la mitad de mi edad; es el cuadrado del doble, más uno (se añade uno al cuadrado), de la raíz cuadrada del número primo gemelo inferior suyo, menos uno (se quita uno al primo). Y la suma de la pareja de primos gemelos de la mitad de la edad de ella, menos x años, es x. ¿ Qué edad tenemos ?

Nota para los amantes sin cesar de la literatura: se necesitan más palabras para plantear el problema, que lo que los números y razonamientos precisos son para resolverlo.

  Nota preliminar :

Una pareja de primos gemelos es (p,p+2) siendo p y p+2  números primos, es decir no divisibles por ningún otro número salvo los triviales 1 y sí mismo. Por ejemplo: (107,109). 107 es un número primo inferior de un apareja de primos gemelos.Y 109 es un número primo mayor de una pareja de primos gemelos. Se ha utilizado la notación de tipo informático a*b para indicar la multiplicación de a por b, porque la notación  algebraica común a mano alzada : ab, nos conduce a 23 cuando queremos decir 2*3=6. Y la notación 2.3 par indicar 2*3 se confunde con 2,3 que los estadounidenses y anglohablantes suelen escribir 2.3. Y como Internet está dominado completamente por la esfera anglohablante, debemos adaptarnos por fuerza.

 Así mismo se utiliza una notación de tipo ASCII  ( American Standard Code for Information Interchange) 
, que se ha impuesto como standard mundial, no para copiar a los estadounidenses que suelen utilizar para este caso la abreviación "sqrt (a)"; para indicar la raíz cuadrada de a : "raíz (a)". En francés sería,  por ejemplo: "racine (a)", sobreentendiéndose que es una raíz "carrée" = cuadrada. Para una raíz enésima de a, se utilizaría la notación: (a)^(1/n). Y a^n significa a multiplicado por sí mismo n-1 veces: a^3 = a*a*a.



Solución:



Los números primos de la forma n^2+1, deben de tener n par, de lo contrario serían divisibles por dos y pueden ser 2^2+1= 5 , 4^2 +1 = 17 , 6^2+1= 37, 10^2+1= 101. En cuestiones de edad no hace falta ir más lejos.

37 no es primo gemelo inferior puesto que 39 =3*13 no es primo.
101 y 103 son primos gemelos y la raíz cuadrada de 101-1 es 10; pero 20^2+1 = 401 y no puedo tener yo (401+x)*2 = más de 802 años. Aparte de que 403 = 13*31 (capicúas o palíndromos el 13 y el 31) no es primo.

(17, 19) es un apareja de primos gemelos. (2*(raíz(16)))^2+1 = 8^2 +1 =65 =5*13 no es primo.

(5,7) es una pareja de primos gemelos. Raíz de (5-1) es 2 y (2*2)^2+1 =17

5+7 = 12, por lo que ella tiene (12+5)*2 =34 años. Y la edad mía; pues no pienso decirla.

Hay que notar, de paso, que los primos gemelos inferiores 5 y 17, son además primos de Fermat; de la forma 2^2^n +1 para n=1 y n=2. Los demás son 3; 257 y 65537 (n=0; n=3; n=4).
 259=7*37 no es primo pero 65539 sí. No se han encontrado más primos y pocos son los hermanos que se le conoce, a Fermat.

Nota terminal : La pareja de números primos gemelos más alta que se conoce es, al día de hoy (1) :

(3756801695685*2666669 -1, 3756801695685*2666669 +1)  con 200700 dígitos cada uno  que ocuparían una longitud de 470 kilómetros cada cual, escritos en fila, utilizando el tamaño de número de una pantalla de ordenador de 20 pulgadas. La forma especial que tienen: (k*2^n -1, k*2^n +1), se debe a que existen unos teoremas, que se remontan al francés Lucas y al también francés Proth , creo -no soy un especialista- que permiten demostrar la primalidad de un número, mucho más rápido -con ordenador- que por el método de dividir por todos los primos hasta la raíz cuadrada del número cuya primalidad se quiere confirmar - o el de generarlos con una criba muy rápida de Eratóstenes.

(1): No es necesario precisar la hora, pero sí el año e incluso el mes , dependiendo de la potencia; que sigue aumentando; de los ordenadores; o de la cantidad de ellos; de los equipos que estén ahora mismo buscando una pareja mayor.

Nota póstuma :


El hecho de que el k de la pareja (k*2^n -1, k*2^n +1) termine en 5, facilita las cosas a la hora de saber en qué dígito terminan los primos gemelos en cuestión sin necesidad de pedirle al ordenador que los calcule y escriba. Cualquier número multiplicado por un número que termina en 5, termina en 5 o en 0 (2) y la terminación en 4 (divisible siempre por 2) , al quitarle 1, no es posible para un número primo--> terminan en 9 y en 1 respectivamente.
 (2) :  Vamos  a mostrarlo. Un número  n que termina en 5 es siempre de la forma  n = 10*a + 5 siendo a = (n-5) / 10          n*b = 10*a*b + 5*b , 5*b termina en 5 si b es impar y en 0 si b es par; 10*a*b termina siempre en 0; y no altera , al sumarse con 5*b, la terminación de 5*b.

Otra forma de hacerlo :  Las potencias de 2 terminan cíclicamente en 2,4,8 o 6 , con periodo 4; dependiendo únicamente de cual es el resto de su exponente al dividirlo por 4. Restos al dividir por 4 : (1,2,3,0) --> Terminaciones (2,4,8,6).  666669 = 4*166667 + 1; por lo que 2^666669 termina en 2 y  3756801695685*2^666669 termina en 0.