viernes, 3 de agosto de 2012

Polígonos y números enteros

Un problemilla bonito, que no supe resolver en primera instancia en el tiempo asignado de 35 minutos - creo que me ha costado generalizar este problema a mí, que soy  empedernidamente lento y atrofiado ahora; unas 30 horas-  hay que decirlo; de la olimpiada matemática española para preuniversitarios; planteaba lo siguiente :

Hallar cuantos hexágonos existen con ángulos internos iguales y con la  longitud de los lados, números enteros consecutivos del 1 al 6, en algún orden.

Olimpiada matemática 2003.

 La media de las notas de todos los participantes en esas fases *finales* de esas olimpiadas, es frecuentemente de menos del 15/100; lo cual no es de extrañar nada, dado que casi cada problema, sin excepción, necesita de algún truco, de una o varias mañas, fuera de normas, para resolverlo. Y los trucos y las mañas son siempre asunto de fuera de tiempo.

 Esto no quita, que entre los asistentes, con tal pésimas puntuaciones, se puedan encontrar grandes talentos.

 El truco, porque hay siempre un pequeño truco -e incluso grande- para poder resolver fácilmente un problema complicado, consiste en inscribir el hexágono en un triángulo equilátero. Y en utilizar  la propriedad casi tautológica, pero es la que permite resolver el problema, de que los 3 lados de un triángulo con ángulos iguales, de 60 grados, son iguales.


La suma de las longitudes de los 6 lados es: a+b+c+d+e+f = 21,  y el triángulo equilátero en el que está inscrito el hexágono, es de longitud de lado l = a+b+c = c+d+e = e+f+a por lo que l  = 7 + (a+c+e) / 3

1) :   a+c+e = 6
                 l = 9,  [a,c,e] = [1,2,3] en algún orden, el hexágono es, en el sentido contrario al de las agujas del reloj : (1,6,2,4,3,5).

2) :  a+c+e =  9
                l = 10,  [a,c,e] = [1,3,5] --->  hexágono  (1,6,3,2,5,4).
Se descartan [1,2,6] porque 10-(2+6) = 2   y  [2,3,4] porque 10-(3+4) = 3  y los lados de tal longitud serían repetidos.

3) : a+c+e = 12
               l = 11,  [a,c,e] = [2,4,6] ---> es el mismo hexágono anterior.

4) : a+c+e = 15
               l = 12,  [a,c,e] = [4,5,6] ---> es el mismo hexágono que para l = 9

Atención a la momenclatura que puede engañar : el hexágono (4,3,5,1,6,2) es el (1,6,2,4,3,5)


Es relativamente fácil generalizar a cualquier progresión aritmética de primer término t cualquiera y de razón d cualquiera.
La longitud de los lados de esos hexágonos será, de t + ad, con los valores de a siguientes, considerados en el sentido contrario al de las agujas del reloj :
0, 5, 1, 3, 2, 4
o bien, la segunda solución primitiva :
0, 5, 2, 1, 4, 3

Para cada elección de t y de d hay dos hexágonos posibles.

Por ejemplo para t = 1 y d = 1, obtenemos los dos resultados anteriores.

Para t=2 y d= 1 --->hexágonos  (2, 7, 3, 5, 4, 6)   y   (2, 7, 4, 3, 6, 5)

Para t = 5 y d = 6 ---> (5, 35, 11, 23, 17, 29)    y ...

Para t = 7 y d = 30 ---> (7, 157, 67, 37, 127, 97)   es el hexágono más pequeño de los infinitos hexágonos de ángulos internos iguales y con los seis lados de longitud igual a un número primo.

Las áreas de cada una de esas dos soluciones son de raíz(3)*(6t^2+29d^2+30dt) / 4 para la solución 0,5,2,1,4,3 y de raíz(3)*d^2 / 2 más, para la otra solución.

Se representan en el dibujo de abajo, algunos de esos hexágonos.


















  La siguiente tarea consiste , naturalmente, en intentar extender el método a polígonos de ángulos internos iguales de n lados cualesquiera. Cuando n es par, bastaría con inscribir el polígono, en otro de n / 2 lados; un decágono en un pentágono, por ejemplo, o un octógono en un cuadrado. Pero los triángulos en cada esquina de la figura de n / 2 lados  no serían equiláteros sino isósceles con 2 ángulos iguales de 2 pi / n y n > 6. Y sabemos que para un ángulo racional 2 pi* (m / n), su coseno sólo es racional si n = 6, un ángulo de pi  / 3 radianes = 60 grados o sus múltiplos; cos (pi / 3) =  1 /  2. Por lo que los lados más largos de esos triángulos, cuando n >6, no serían enteros , aunque sus lados más cortos e iguales lo fueran. Y el método utilizado aquí no es extensible, pues, a polígonos de número par de lados si n > 6.

A pesar de haber buscado en Google, no hay trazas de información sobre la generalización de este problema a polígonos de n lados cualesquiera. Supongo, porque conjeturar es palabra demasiado fuerte y pomposa para un amateur con muy escasos conocimientos matemáticos, como yo; que el hexágono es una excepción entre los polígonos. Pero no veo ningún método para demostrar que existen o que no existen soluciones en lados enteros para polígonos de lado n cualquiera y de ángulos iguales.

Sólo he encontrado los pentágonos de Robbins, extensibles bajo condición a hexágonos, que son cíclicos, inscritos en círculos y de lados enteros, pero de ángulos desiguales. Y los "golygons" de Gardner y otros que parecen ser polígonos de número de lados variable y de ángulo igual a 90 grados, pero cóncavos y no convexos, como en el caso que nos ocupa.

http://oeis.org/A215010